Sigma-Algebren

Sei \(\displaystyle \Omega\neq\emptyset\) eine Menge, \(\displaystyle \Pow (\Omega)\) die Potenzmenge und \(\displaystyle \mathcal{F}\subseteq\Pow(\Omega)\) ein Mengensystem.

Definition

\(\displaystyle \mathcal{F}\) heißt Algebra, wenn folgende Eigenschaften gelten:
(1)
\(\displaystyle \emptyset\in\mathcal{F}\)
(2)
\(\displaystyle A\in\mathcal{F}\Rightarrow A^c\in\mathcal{F}\)
(3)
\(\displaystyle A,B\in\mathcal{F}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{F}\)
\(\displaystyle \mathcal{F}\) heißt \(\displaystyle \sigma\)-Algebra, wenn die Punkte (1) und (2) gelten und zusätzlich
(4)
\(\displaystyle A_1, A_2, \ldots\in\mathcal{F} \Rightarrow \bigcup\limits A_k\in\mathcal{F}\)
gilt.
Algebren sind bezüglich der endlichen Vereinigung abgeschlossene Mengensysteme und \(\displaystyle \sigma\)-Algebren sind bezüglich der abzählbaren Vereinigung abgeschlossene Mengensysteme. Wegen (1) und (2) gilt stets \(\displaystyle \Omega\in\mathcal{F}\).
 
 

Satz 16KW

Jede \(\displaystyle \sigma\)-Algebra ist eine Algebra.

Beweis

Zum Beweis genügt es zu zeigen, dass eine beliebige \(\displaystyle \sigma\)-Algebra \(\displaystyle \mathcal{F}\) den Punkt (3) der Definition erfüllt. Es gelten die Eigenschaften (1), (2) und (4). Man setzt nun \(\displaystyle A_1=A\) und \(\displaystyle A_2=B\) sowie \(\displaystyle A_n=\emptyset\) für \(\displaystyle (n=3,4,\ldots)\). Dann gilt nach (4) \(\displaystyle \bigcup\limits A_k\in\mathcal{F} \) und damit \(\displaystyle A\cup B\in\mathcal{F}\). \(\displaystyle \qed\)

Bemerkungen

Jede endliche Algebra ist eine \(\displaystyle \sigma\)-Algebra.
Jede \(\displaystyle \sigma\)-Algebra ist bezüglich der (symmetrischen) Differenz abgeschlossen. (Begründung: \(\displaystyle A\setminus B=(A^c\cup B)^c\) und Definition der symmetrischen Differenz)
Die Umkehrung von Satz 16KW ist in der Regel falsch, d.h. es gibt Algebren, die keine \(\displaystyle \sigma\)-Algebra sind. Das klassiche Beispiel hierfür ist:
\(\displaystyle \Omega=\N\) mit \(\displaystyle \mathcal{F}:=\{A\subseteq\N| A\vee A^c\) endlich \(\displaystyle \}\)

Begründung

(1) ist klar.
Zu (2): Sei \(\displaystyle A\in\mathcal{F}\), dann ist zu zeigen, dass \(\displaystyle A^c\in\mathcal{F}\) oder \(\displaystyle (A^c)^c\) endlich ist. Falls \(\displaystyle A^c\) endlich, ist nichts weiter zu zeigen. Wenn \(\displaystyle A\) endlich ist, dann ist wegen \(\displaystyle (A^c)^c=A\) das Komplement von \(\displaystyle A\) Komplement einer endlichen Menge und daher in \(\displaystyle \mathcal{F}\).
Zu (3): Für \(\displaystyle A,B\in\mathcal{F}\) ist zu zeigen, dass \(\displaystyle (A\cup B)\) endlich oder \(\displaystyle (A\cup B)^c\in\mathcal{F}\) endlich sind.
1. Fall: \(\displaystyle A,B\) endlich \(\displaystyle \Rightarrow A\cup B\) endlich.
2. Fall: \(\displaystyle A^c, B^c\) endlich \(\displaystyle \Rightarrow (A\cup B)^ {c}\) \(\displaystyle =A^c\cap B^c\in \mathcal{F}\), da \(\displaystyle A^c\cap B^c\) endlich.
3. Fall: \(\displaystyle A,B^c\) endlich \(\displaystyle \Rightarrow (A\cup B)^ {c}\) \(\displaystyle =A^c\cap B^c\in \mathcal{F}\), da \(\displaystyle A^c\cap B^c\) endlich wegen \(\displaystyle B^c\) endlich.
4. Fall: analog zum 3. Fall.
Die Eigenschaft (4) gilt nicht. Sei \(\displaystyle A_1=\{2\}\); \(\displaystyle A_2=\{4\}\); ... \(\displaystyle A_n=\{2n\}\). Die Vereinigung \(\displaystyle \bigcup\limits A_n\) ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Diese ist nicht endlich und auch ihr Komplement (die ungeraden natürlichen Zahlen) sind nicht endlich.

Satz 16KX

Sei \(\displaystyle \mathcal{F}\) eine Algebra. Für alle Folgen \(\displaystyle A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F} (n\in\N)\) gelten:
  1. \(\displaystyle \bigcup\limits_{k=1}^n A_k\in\mathcal{F}\)
  2. \(\displaystyle \bigcap\limits_{k=1}^n A_k\in\mathcal{F}\)

Beweis

(i) Vollständige Induktion führt auf die Behauptung.
(ii) \(\displaystyle A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}\)\(\displaystyle \Rightarrow A_1^c,\ldots,A_n^c\in\mathcal{F} \)\(\displaystyle \Rightarrow \bigcup\limits_{k=1}^n A_k^c\in\mathcal{F}\) \(\displaystyle \implies \left(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k\right)^c \Rightarrow \bigcap\limits_{k=1}^n A_k\in\mathcal{F}\). \(\displaystyle \qed\)

Beispiele

Die "kleinste" Algebra bzw. \(\displaystyle \sigma\)-Algebra ist \(\displaystyle \mathcal{F}=\{\emptyset, \Omega\}\).Die "größte" \(\displaystyle \sigma\)-Algebra ist die Potenzmenge \(\displaystyle \mathcal{F}=\Pow(\Omega)\).Sei \(\displaystyle \emptyset\subset A\subset\Omega\) Dann ist \(\displaystyle \mathcal{F}=\{\emptyset, \Omega, A, A^c\}\) eine Algebra bzw. \(\displaystyle \sigma\)-Algebra.

Satz 16KY

Sei \(\displaystyle (\mathcal{F}_i)_{i\in I}\) eine Familie von \(\displaystyle \sigma\)-Algebren. Dann ist der Durchschnitt \(\displaystyle \bigcap\limits_{i\in I} \mathcal{F}_i\) eine \(\displaystyle \sigma\)-Algebra.

Beweis

Es ist \(\displaystyle \bigcap\limits_{i\in I}\mathcal{F}_i\subseteq\Pow(\Omega)\). Für \(\displaystyle \mathcal{F}_i\) gilt, dass \(\displaystyle \emptyset\in\mathcal{F}_i \)\(\displaystyle \Rightarrow \emptyset\in\bigcap\limits_{i\in I} \mathcal{F}_i\)Sei \(\displaystyle A\in\bigcap\limits_{i\in I}\mathcal{F}_i\). Es ist zu zeigen, dass \(\displaystyle A^c\in\bigcap\limits_{i\in I}\in\mathcal{F}_i\). \(\displaystyle A\in\mathcal{F}_i\)\(\displaystyle \Rightarrow A^c\in\mathcal{F}_i\)\(\displaystyle \Rightarrow A^c\in\bigcap\limits_{i\in I} \mathcal{F}_i\).Seien \(\displaystyle A_1,A_2,\ldots\in\bigcap\limits_{i\in I}\mathcal{F}_i \)\(\displaystyle \Rightarrow A_k\in\mathcal{F}_i \) für \(\displaystyle k=1,2,\ldots\) und beliebiges \(\displaystyle i\) \(\displaystyle \Rightarrow \bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k \in\mathcal{F}_i \)\(\displaystyle \Rightarrow \bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\in\bigcap\limits_{i\in I} \mathcal{F}_i\). \(\displaystyle \qed\)

Definition

Sei \(\displaystyle \mathfrak{E}\subseteq\Pow(\Omega)\) und \(\displaystyle \mathcal{F}\) eine \(\displaystyle \sigma\)-Algebra.
\(\displaystyle \sigma(\mathfrak{E}):=\bigcap\limits_{\mathfrak{E}\subseteq\mathcal{F}} \mathcal{F}\)
heißt die von \(\displaystyle \mathfrak{E}\) erzeugte \(\displaystyle \sigma\)-Algebra. Gilt für eine \(\displaystyle \sigma\)-Algebra \(\displaystyle \mathcal{B}\) die Beziehung
\(\displaystyle \mathcal{B}=\sigma(\mathfrak{E})\)
so heißt \(\displaystyle \mathfrak{E}\) Erzeugendensystem von \(\displaystyle \mathcal{B}\).
Aus Satz 16KY folgt, dass \(\displaystyle \sigma(\mathfrak{E})\) eine \(\displaystyle \sigma\)-Algebra ist. Die gleiche Konstruktion ist auch für Algebren möglich.

Beispiele

\(\displaystyle \sigma(\{\emptyset\})=\{\emptyset,\Omega\} \) \(\displaystyle \sigma(\{A\})=\{\emptyset,\Omega,A,A^c\} \) mit \(\displaystyle (\emptyset\subset A\subset \Omega) \)

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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