Messbare Funktionen

Eine messbare Funktion ist in der Mathematik definiert als eine Funktion f f aus einem Messraum (X1,A1)(X_1,\mathcal{A}_1) in einen anderen Messraum (X2,A2)(X_2,\mathcal{A}_2), die der Bedingung genügt, dass ∀A∈A2: f−1(A)∈A1\forall A \in \mathcal{A}_2:\ f^{-1}(A) \in \mathcal{A}_1 , und somit das Urbild jeder messbaren Teilmenge aus X2X_2 eine messbare Teilmenge von X1X_1 ist. Eine solche Funktion wird auch als A1\mathcal{A}_1-A2\mathcal{A}_2messbar bezeichnet.
Werden die σ\sigma-Algebren A1,A2\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2 von Topologien S\mathcal{S} und T\mathcal{T} erzeugt; also A1=σ(S)\mathcal{A}_1=\sigma(\mathcal{S}) und A2=σ(T)\mathcal{A}_2=\sigma(\mathcal{T}), dann genügt es die Messbarkeit von f f für alle U⊆TU\subseteq\mathcal{T} zu zeigen. Für eine Abbildung ff von einem Messraum (X,A)(X,\mathcal{A}) nach R\mathbb{R} gilt somit, dass f f genau dann messbar ist, wenn
[f≤a:a∈R]:={x∈X:f(x)≤a,a∈R}∈A[ f \leq a: a \in \mathbb{R} ] := \{x \in X: f(x) \leq a, a \in \mathbb{R} \} \in \mathcal{A}.
Die Verknüpfung messbarer Funktionen ist wieder eine messbare Funktion. Ferner sind stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen (ausgestattet mit der Borel-σ\sigma-Algebra) messbar.
Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ\sigma-Algebra des Messraums ist und ihr somit ein Maß zugeordnet werden kann.
 
 

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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