Borelmengen

Sei $M$ ein metrischer Raum (topologischer Raum). Wir betrachten das System der offenen Mengen $\mathfrak{E}=\{A\subseteq M| A \text{ offen}\}$. Die von $\mathfrak{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma(\mathfrak{E})$ heißt die $\sigma$-Algebra der Borelmengen aus $M$ oder borelsche $\sigma$-Algebra. Mit $\mathfrak{B}_n$ bezeichnen wir die $\sigma$-Algebra der Borelmengen in $\R^n$ und $\mathfrak{B}$ ist die $\sigma$-Algebra der Borelmengen in $\R$.

Da für jeden topologischen Raum $\Omega$ die Potenzmenge $\Pow(\Omega)$ eine $\sigma$-Algebra ist, existiert auch die borelsche $\sigma$-Algebra zu $\Omega$.

Eine borelsche $\sigma$-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines Messraums auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur heißt der Raum dann auch Borel-Raum.

Die Menge $\R$ der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen Intervalle $]a,b[$ mit rationalen Endpunkten aufgespannt wird. Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf $\R$ betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf $\R$, und die aus ihr abgeleitete borelsche $\sigma$-Algebra wird schlicht als die borelsche $\sigma$-Algebra auf $\R$ bezeichnet. Sie enthält (aufgrund der Abgeschlossenheit einer $\sigma$-Algebra bezüglich der Komplementbildung) außer den offenen auch die abgeschlossenen Intervalle.

Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen $\R^n$ wird die kanonische Topologie von den $n$-dimensionalen Quadern $]a_1,b_1[\times\ldots\times ]a_n,b_n[$ mit rationalen Koordinaten $a_i$ und $b_i$ aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die $n$-fache Produkttopologie der kanonischen Topologie auf $\R$. Die von ihr erzeugte borelsche $\sigma$-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die borelsche $\sigma$-Algebra auf $\R^n$.

Auf diese Art ist auch elegant die borelsche $\sigma$-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen $\Bbb C$ und $\R^2$.