Nichtstandardanalysis
Nichtstandardanalysis ist ein
Gebiet der
Mathematik, das sich mit nicht-archimedisch geordneten Körpern beschäftigt. Der wichtigste Unterschied zur normalen
Analysis besteht darin, dass in der
Nichtstandardanalysis auch
unendlich große und
unendlich kleine Zahlen vorkommen.
Statt den in der Standard-Analysis üblichen
reellen Zahlen werden so genannte
hyperreelle Zahlen verwendet.
Hyperreelle Zahlen erfüllen die gleichen Axiome wie die
reellen Zahlen mit Ausnahme des archimedischen Axioms. Das bedeutet, dass in diesem Rahmen auch Zahlen, so genannte Infinitesimalzahlen, vorkommen können, d.h. Zahlen die näher bei 0 liegen als jede von 0 verschiedene
reelle Zahl, sowie Zahlen die größer oder kleiner als jede
reelle Zahl sind.
Das erste Modell einer
Nichtstandardanalysis wurde in den 1960er Jahren von Abraham Robinson entwickelt. Er verwendete dieses, um einen Satz aus der
Funktionalanalysis zu zeigen, nämlich dass jeder polynomial kompakte Operator in einem
Hilbertraum einen invarianten
Unterraum besitzt. Allerdings ist die Konstruktion nicht konstruktiv, sie benötigt
Ultrafilter und das
Auswahlaxiom. Es gibt ferner Anwendungen der
Nichtstandardanalysis in der
Stochastik und der
Topologie.
In der
Nichtstandardanalysis können die in der
Analysis üblichen Begriffe wie
Ableitung oder
Integral ohne
Grenzwerte definiert werden. In dieser Hinsicht ist die
Nichtstandardanalysis näher bei den Ideen der Gründer der Infinitesimalrechnung, Newton und Leibniz. Im Unterschied zur Verwendung von "
unendlich kleinen Größen" durch Newton und Leibniz ist die
Nichtstandardanalysis jedoch logisch einwandfrei und ohne Widersprüche.
- ∀ε>0:∃δ>0:∀x∈R:∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−f(x0)∣<ε
In der
Nichtstandardanalysis kann man sie so definieren: Ist
f eine Standard-Funktion und
x0 ein Standard-Punkt, dann ist
f in
x0 genau dann
stetig, wenn
- ∀x∈ ∗R:x≈x0⇒f(x)≈f(x0),
wobei
∗R der in der
Nichtstandardanalysis erzeugte
Erweiterungskörper von
R ist und
x≈y bedeutet, dass die (Nichtstandard-)Zahlen
x und
y einen infinitesimalen Abstand haben.
Die surrealen Zahlen bilden einen nicht-archimedisch geordneten
Erweiterungskörper der
reellen Zahlen, der auf völlig andere Weise als der Körper der hyperreellen Zahlen gewonnen wird.
Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.
Hermann Weyl
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