Filter und Ultrafilter

Definition

Es sei XX eine Menge. Ein Filter F⊆P(X)\mathcal{F}\subseteq \Pow(X) ist eine Menge von Teilmengen auf XX mit folgenden Eigenschaften:
∅∉F\emptyset\notin \mathcal{F}, X∈F X\in \mathcal{F}(F1)
F∈F,G⊇F⇒G∈FF\in\mathcal{F}, G\supseteq F \Rightarrow G\in \mathcal{F}(F2)
F1,…,Fn:Fi∈F  ⟹  (⋂i=1nFi)∈F F_1,\ldots, F_n: F_i\in \mathcal{F}\implies \left(\bigcap\limits_{i=1}^n F_i\right)\in \mathcal{F}(F3)
Gilt ferner
(F4) F,G\mathcal{F}, \mathcal{G} seien Filter auf XX und G⊇F⇒G=F\mathcal{G}\supseteq \mathcal{F}\Rightarrow \mathcal{G}=\mathcal{F}
dann heißt F\mathcal{F} Ultrafilter.
F4 kann auch so ausgedrückt werden, dass F\mathcal{F} in der Menge aller Filter auf XX maximal ist, wobei als Ordnung die Inklusion auf P(P(X))\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)), also auf der Potenzmenge der Potenzmenge von XX, verwendet wird. (Beachte: Ein Filter ist eine Teilmenge von P(X)\mathcal{P}(X) und daher ein Element von P(P(X))\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)).
 
 

Satz B6HF (Existenz von Ultrafiltern)

Ist F\mathcal{F} ein Filter auf der Menge XX. Dann existiert ein Ultrafilter G\mathcal G der den Filter F\mathcal F umfasst. Da {X}\{X\} ein Filter auf der Menge XX ist, existiert auf jeder nichtleeren Menge ein Ultrafilter.

Satz B6HG (Charakterisierung von Ultrafiltern)

Es sei F\mathcal{F} ein Filter auf XX. Dann sind folgende Aussagen äquivalent :
  1. F\mathcal{F} ist ein Ultrafilter, also für alle Filter G\mathcal{G} auf XX mit G⊇F\mathcal{G}\supseteq \mathcal{F} folgt G=F\mathcal{G}=\mathcal{F}.
  2. Für alle Teilmengen A,B⊂XA,B\subset X gilt: A∪B∈F⇒A∈FA\cup B\in \mathcal{F}\Rightarrow A\in \mathcal{F} oder B∈FB\in\mathcal{F}.
  3. ∀A⊆X\forall A\subseteq X gilt, dass entweder A∈FA\in \mathcal{F} oder X−A∈FX-A \in \mathcal{F}.

Beweis

(1)  ⟹  \implies(2): Sei A∪B∈FA\cup B\in \mathcal{F}, oBdA sei nun A≠∅A\neq\OO (ist A=∅A=\OO führen wir die folgenden Überlegungen mit BB durch, beide Mengen können wegen F1 nicht leer sein). Sei H\mathcal{H} ein Filter mit F⊂H\mathcal{F}\subset \mathcal{H} und A∈HA\in \mathcal{H}. Der Durchschnitt der so definierten Filter ist nicht leer und wieder ein Filter G \mathcal{G} mit G⊇F\mathcal{G}\supseteq \mathcal{F}, also G=F\mathcal{G}=\mathcal{F}, daher ist A∈FA\in \mathcal{F}.
(2)  ⟹  \implies(3): Angenommen (3) gilt nicht, dh. es gibt ein A⊆XA\subseteq X mit A∈FA\in \mathcal{F}   ⟺  X−A∈F\iff X-A \in \mathcal{F}. Nun ist F∋X=A∪(X∖A)\mathcal{F}\ni X=A\cup(X\setminus A), also nach (2) A∈FA\in \mathcal{F} oder X−A∈FX-A \in \mathcal{F}, dh. es gilt sogar A∈FA\in \mathcal{F} und X−A∈FX-A \in \mathcal{F}, was zum Widerspruch führt wegen ∅=A∩(X∖A)∈F\OO=A\cap(X\setminus A)\in\mathcal{F}
(3)  ⟹  \implies(1): Sei G⊃F\mathcal{G}\supset\mathcal{F}, dh es gibt ein C∈GC\in\mathcal{G} mit C∉FC\notin\mathcal{F}. Wegen (2) ist also X∖C∈F⊂GX\setminus C\in\mathcal{F}\subset \mathcal{G}   ⟹  C∉G\implies C\notin\mathcal{G}. Widerspruch. □\qed

Satz B6HH (Gleichmächtigkeit der Ultrafilter)

Sind F1,F2\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2 Ultrafilter auf einer Menge XX, dann sind diese gleichmächtig.

Beweis

Dies sieht man durch folgende Abbildungen ein:
f1:F1→F2,A↦{A,wenn A∈F2,X−A,wenn X−A∈F2f_1:\mathcal{F}_1\rightarrow \mathcal{F}_2, A\mapsto\begin{cases} A, & \text{wenn } A\in \mathcal{F}_2,\\ X-A, & \text{wenn } X-A\in \mathcal{F}_2 \end{cases} sowie f2:F2→F1,A↦{A,wenn A∈F1,X−A,wenn X−A∈F1f_2:\mathcal{F}_2\rightarrow \mathcal{F}_1, A\mapsto\begin{cases} A, & \text{wenn } A\in \mathcal{F}_1,\\ X-A, & \text{wenn } X-A\in \mathcal{F}_1 \end{cases}
Zuerst sieht man, dass die Abbildungen, wegen Satz B6HG wohldefiniert sind. Man sieht sofort f1∘f2=id⁡F1f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{\mathcal{F}_1} und f2∘f1=id⁡F2f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{\mathcal{F}_2}. Somit handelt es sich um Bijektionen (Satz B6HE). □\qed

Vollständigkeit

Unter der Vollständigkeit eines Ultrafilters, versteht man die kleinste Kardinalzahl κ\kappa, sodass der Durchschnitt von κ\kappa Elementen des Filters kein Element des Filters ist. Dies widerspricht nicht der Definition von Ultrafiltern, da nach dieser nur der Durchschnitt von endlich vielen Elementen eines Ultrafilters ein Element des Ultrafilters sein muss. Aus der Definition folgt, dass die Vollständigkeit eines Ultrafilters mindestens ℵ0\aleph_0 ist. Ein Ultrafilter, dessen Vollständigkeit größer als ℵ0\aleph_0 ist, heißt, abzählbar vollständig, bzw. σ\sigma-Vollständig, da jede Schnittmenge abzählbar (auch abzählbar unendlich) vieler Elemente des Filters, wieder ein Element des Filters ist.

Literatur

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (Berliner Studienreihe zur Mathematik 15), S. 203ff. Kapitel 13.

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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