Arten und Existenz von Ultrafiltern

• Ein Filter $\mathcal{F}$ auf $X$ ist ein fixierter Ultrafilter genau dann, wenn es ein $x\in X$ gibt mit $\mathcal{F}=\mathcal{F}_x:=\{F: x\in F\subseteq X\}$.

Beispiele

• Auf der leeren Menge $\emptyset$ gibt es nur den leeren Filter, welcher die leere Menge ist. Dieser ist damit ein Ultrafilter.
• Ist $X$ eine endliche Menge, dann ist jeder Ultrafilter auf $X$ genau durch einen Punkt fixiert. Wäre das nicht so und wäre der Filter durch die Menge $\{x_1,\dots ,x_n\}$ fixiert, so könnte man ihn durch Hinzufügen von ${x_n}$ echt verfeinern. Somit sind die Ultrafilter auf einer Menge gerade die Punktfilter.
• Der Umgebungsfilter eines Punktes in der Topologie ist genau dann ein Ultrafilter, wenn der Punkt isoliert ist.
• Zur Konstruktion hyperreeller Zahlen verwendet man einen Ultrafilter auf den natürlichen Zahlen: Der kofinite Filter auf den natürlichen Zahlen ist der Filter, der nur die Komplemente endlicher Mengen natürlicher Zahlen enthält. Er ist selbst kein Ultrafilter (denn er enthält weder die Menge der geraden noch die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen), ist aber in einem Ultrafilter enthalten - diesen kann man nicht konkret angeben, es gibt auch mehrere mögliche. Entscheidet man sich für einen davon (nicht-konstruktiv), kann man hyperrelle Zahlen definieren.

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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