Axiome hyperreeller Zahlen

Wir definieren die hyperreellen Zahlen ähnlich zu den reellen Zahlen rein axiomatisch. Dabei setzen wir die reellen Zahlen nicht voraus, sondern erhalten diese als Teilmenge der hyperreellen Zahlen.

Angeordneter Körper

Axiom AOK

Die hyperreellen Zahlen ∗R*\R sollen einen angeordneten Körper bilden.

Standard-Funktion

Zur weiteren Charakterisierung führen wir eine Standard-Funktion st⁡\st ein. Diese soll dazu dienen, diese soll zu jeder Zahl ihren Standard-Anteil ermitteln. Die Funktion ist nur partiell definiert, dh. es gibt Zahlen, die keinen Standardanteil besitzen. Die reellen Zahlen erhalten wir, als diejenigen, die mit ihren Standardanteil übereinstimmen (st⁡(x)=x\st(x)=x) .

ST-Axiome

Auf ∗R*\R sei eine Funktion st⁡:∗R→∗R\st:*\R\to*\R mit den folgenden Eigenschaften definiert
  1. st⁡(0)=0\st(0)=0 und st⁡(1)=1\st(1)=1
  2. st⁡(x+y)=st⁡(x)+st⁡(y)\st(x+y)=\st(x)+\st(y)
  3. st⁡(x⋅y)=st⁡(x)⋅st⁡(y)\st(x\cdot y)=\st(x)\cdot\st(y)
  4. x≤y  ⟹  st⁡(x)≤st⁡(y)x\leq y\implies \st(x)\leq \st(y)
  5. st⁡(x)=st⁡(st⁡(x))\st(x)=\st(\st(x)) (st⁡\st ist idempotent)
Achtung! Für ein x∈∗Rx\in*\R muss st⁡(x)\st(x) nicht existieren, wenn die Werte existieren, gehorchen sie aber den ST-Axiomen.

Definitionen

Wir nennen ein x∈∗Rx\in*\R endlich, falls st⁡(x)\st(x) definiert ist. st⁡(x)\st(x) wird dann auch der Standardteil der Zahl xx genannt. Die ST-Axiome beschreiben als das Verhalten endlicher Zahlen, sagen nicht über unendliche (=nicht endliche) Zahlen aus.
Wir nennen xx reell, falls st⁡(x)=x\st(x)=x gilt. Damit ist jede reelle Zahl auch endlich. Mit R={x∈∗R∣x=st⁡(x)}\R=\{x\in*\R| x=\st(x)\} bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen.
Wir nennen xx infinitesimal, falls st⁡(x)=0\st(x)=0 ist. Damit ist 00 selber infinitesimal. Ob es noch weitere infinitesimale Zahlen gibt, können wir nur mit den ST-Axiomen nicht fesstellen.

Bemerkungen

Die ST-Axiome liefern nicht zwingend neue Objekte, denn die identische Abbildung erfüllt diese trivial, sodass jeder angeordnete Körper automatisch die ST-Axiome erfüllt.
Wegen st⁡(0)=st⁡(0+0)=st⁡(0)+st⁡(0)\st(0)=\st(0+0)=\st(0)+\st(0) folgt aus aus der Endlichkeit von 00 sofort st⁡(0)=0\st(0)=0. Ähnlich gilt: st⁡(1)=st⁡(1⋅1)=st⁡(1)⋅st⁡(1)\st(1)=\st(1\cdot 1)=\st(1)\cdot \st(1), falls also st⁡(1)≠0\st(1)\neq 0, kann man st⁡(1)=1\st(1)=1 folgern.
Wegen st⁡(x)=st⁡(st⁡(x))\st(x)=\st(\st(x)) ist der Standardteil einer Zahl immer reell.
 
 

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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