Eigenschaften von st

Satz A3OD (Eigenschaften von st)

  1. st⁡(−1)=−1\st(-1)=-1
  2. st⁡(x−y)=st⁡(x)−st⁡(y)\st(x-y)=\st(x)-\st(y), falls xx und yy endlich
  3. st⁡(1x)=1st⁡(x)\st\left(\dfrac 1 x\right)=\dfrac 1 {\st(x)}, falls xx und 1x\dfrac 1 x endlich
  4. st⁡(xy)=st⁡(x)st⁡(y)\st\left(\dfrac x y \right)=\dfrac {\st(x)} {\st(y)}

Beweis

(i) 0=st⁡(0)=st⁡(−1+1)0=\st(0)=\st(-1+1)=st⁡(−1)+st⁡(1)=st⁡(−1)+1 =\st(-1)+\st(1)=\st(-1)+1   ⟹  st⁡(−1)=−1\implies \st(-1)=-1 (ii) st⁡(x−y)=st⁡(x+(−1⋅y))=st⁡(x)+st⁡(−1)⋅st⁡(y)=st⁡(x)−st⁡(y)\st(x-y)=\st(x+ (-1\cdot y))=\st(x)+\st(-1)\cdot\st(y)=\st(x)-\st(y). (iii) Folgt aus st⁡(1)=st⁡(x⋅1x)=st⁡(x)⋅st⁡(1x)\st(1)=\st\left(x\cdot \dfrac 1 x\right)=\st(x)\cdot\st\left( \dfrac 1 x\right)

Satz (Zerlegungssatz für hyperreelle Zahlen)

Sei xx endlich, dann gibt es genau ein ϵ\epsilon mit st⁡(ϵ)=0\st(\epsilon)=0, sodass
x=st⁡(x)+ϵx=\st(x)+\epsilon.
Jede endliche Zahl lässt sich also eindeutig in einen reellen und einen infinitesimalen Teil zerlegen.

Beweis

Da xx endlich, existiert st⁡(x)\st(x), wir finden also eine Darstellung x=st⁡(x)+ϵx=\st(x)+\epsilon. Bleibt zu zeigen, dass st⁡(ϵ)=0\st(\epsilon)=0. st⁡(x)=st⁡(st⁡(x)+ϵ)\st(x)=\st(\st(x)+\epsilon) =st⁡(st⁡(x))⎵=st⁡(x)+st⁡(ϵ)=\underbrace{\st(\st(x))}_{=\st(x)}+\st(\epsilon), also st⁡(ϵ)=0\st(\epsilon)=0. Wenn für ein infinitesimales δ\delta gilt: x=st⁡(x)+δx=\st(x)+\delta, so gilt wegen x=st⁡(x)+ϵ=st⁡(x)+δx=\st(x)+\epsilon=\st(x)+\delta: ϵ=δ\epsilon=\delta, womit die Zerlegung eindeutig ist. □\qed
Falls xx reell ist, degeneriert die Darstellung zu x=st⁡(x)⎵=x+0x=\underbrace{\st(x)}_{=x}+0.
 
 

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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