Beispiele für Goodstein-Folgen

$g_1(1) = 1$

$g_2(1) = 0$

$g_1(2) = 2$

$g_2(2) = a_2(2^1) - 1 = 3^1 - 1 = 2$

$g_3(2) = a_3(2) - 1 = 2 - 1 = 1$

$g_4(2) = a_4(1)- 1 = 1 - 1 = 0$

$g_1(3) = 3$

$g_2(3) = a_2(2^1 + 1) - 1 = 3^1 + 1 - 1 = 3$

$g_3(3) = a_3(3^1) - 1 = 4^1 - 1 = 3$

$g_4(3) = a_4(3 \cdot 4^0) - 1 = 3 \cdot 5^0 - 1 = 2$

$g_5(3) = a_5(2 \cdot 5^0) - 1 = 2 \cdot 6^0 - 1 = 1$

$g_6(3) = a_6(6^0) - 1 = 7^0 - 1 = 0$

$g_1(4) = 4$

$g_2(4) = a_2(2^2) - 1 = 3^3 - 1 = 26$

$g_3(4) = a_3(2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 2) - 1 = 2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^1 + 2 - 1 = 41$

$g_4(4), \ldots, g_{10}(4) = 60, 83, 109, 139, 173, 211, 253\;$

$g_{11}(4) = a_{11}(2 \cdot 11^2 + 11^1) - 1 = 2 \cdot 12^2 + 12^1 - 1 = 299$

$g_{12}(4) = a_{12}(2 \cdot 12^2 + 11) - 1 = 2 \cdot 13^2 + 11 - 1 = 348$

...

$g_{100}(4) = 101^2 + 21\cdot 101 + 90 = 12\, 412$

...

$g_{1000}(4) = 1001^2 + 18\cdot 1001 + 534 = 1\, 020\, 533$

...

$g_1(19) = 19$

$g_2(19) = a_2(2^{2^2} + 2 + 1) - 1 = 3^{3^3} + 3 = 7\, 625\, 597\, 484\, 990$

$g_3(19) = 4^{4^4} + 3 \approx 1{,}3 \cdot 10^{154}$

$g_4(19) = 5^{5^5} + 2 \approx 1{,}8 \cdot 10^{2184}$

$g_5(19) = 6^{6^6} + 1 \approx 2{,}6 \cdot 10^{36\, 305}$

$g_6(19) = 7^{7^7} \approx 3{,}8 \cdot 10^{695\, 974}$

$g_7(19) = 8^{8^8} - 1 = 7\cdot 8^{(7\cdot 8^7 + 7\cdot 8^6 + 7\cdot 8^5 + 7\cdot 8^4 + 7\cdot 8^3 + 7\cdot 8^2 + 7\cdot 8 + 7)}+$

$\ldots+7\cdot 8^{8+1} + 7\cdot 8^8 + 7\cdot 8^7 + 7\cdot 8^6 +$

$7\cdot 8^5 + 7\cdot 8^4 + 7\cdot 8^3 + 7\cdot 8^2 + 7\cdot 8 + 7$

$\approx 6\cdot 10^{15\, 151\, 335}$

...

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

Elementare Zahlentheorie

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