Binomischer Satz

Der binomische Satz ist eine Verallgemeinerung der binomischen Formeln.

Satz 5305M (Binomischer Satz)

Für beliebige reelle Zahlen (komplexe Zahlen) \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) gilt:
\(\displaystyle (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n \chooseNT n k \, a^{n-k}\cdot b^k\)
für natürliche Zahlen \(\displaystyle n\) mit \(\displaystyle n\geq 1\).
Außerdem gilt die 3. Binomische Formel
\(\displaystyle a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum\limits_{k=0}^na^{n-k}b^k\)

Beweis

Die Behauptung wird mit vollständiger Induktion über \(\displaystyle n\) bewiesen.
Für \(\displaystyle n=1\) erhalten wir \(\displaystyle (a+b)=\chooseNT 1 0 a + \chooseNT 1 1 b\), was offensichtlich richtig ist..
\(\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)^n(a+b)\)
\(\displaystyle =\braceNT{\sum\limits_{k=0}^n \chooseNT n k \, a^{n-k}\cdot b^k}(a+b)\) mit Induktionsvoraussetzung
\(\displaystyle =\braceNT{\sum\limits_{k=0}^n \chooseNT n k \, a^{n-k}\cdot b^k} a+\braceNT{\sum\limits_{k=0}^n \chooseNT n k \, a^{n-k}\cdot b^k}b\) \(\displaystyle ={\sum\limits_{k=0}^n \chooseNT n k \, a^{n-k+1}\cdot b^k} +{\sum\limits_{k=0}^n \chooseNT n k \, a^{n-k}\cdot b^{k+1}}\) \(\displaystyle ={\chooseNT n 0 a^{n+1}b^0+ \sum\limits_{k=1}^n \chooseNT n k \, a^{n-k+1}\cdot b^k} +{\sum\limits_{k=0}^{n-1} \chooseNT n k \, a^{n-k}\cdot b^{k+1}} + \chooseNT n n a^0 b^{n+1}\) \(\displaystyle ={a^{n+1}+ \sum\limits_{k=1}^n \chooseNT n k \, a^{n-k+1}\cdot b^k} +{\sum\limits_{k=0}^{n-1} \chooseNT n k \, a^{n-k}\cdot b^{k+1}} + b^{n+1}\) \(\displaystyle ={a^{n+1}+ \sum\limits_{k=0}^{n-1} \chooseNT n {k+1} \, a^{n-k}\cdot b^{k+1}} +{\sum\limits_{k=0}^{n-1} \chooseNT n k \, a^{n-k}\cdot b^{k+1}} + b^{n+1}\) \(\displaystyle ={a^{n+1}+ \sum\limits_{k=0}^{n-1}\braceNT{ \chooseNT n {k+1}+ \chooseNT n k }\, a^{n-k}\cdot b^{k+1}} + b^{n+1}\)
\(\displaystyle ={a^{n+1}+ \sum\limits_{k=0}^{n-1} { \chooseNT {n+1} {k+1} }\, a^{n-k}\cdot b^{k+1}} + b^{n+1}\) nach Satz 5305L
\(\displaystyle ={a^{n+1}+ \sum\limits_{k=1}^{n} { \chooseNT {n+1} {k} }\, a^{n-k+1}\cdot b^{k}} + b^{n+1}\) \(\displaystyle =\chooseNT {n+1} 0 \, a^{n+1}b^0+ \sum\limits_{k=1}^{n} { \chooseNT {n+1} {k} }\, a^{n-k+1}\cdot b^{k} + b^{n+1}\) \(\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^{n} { \chooseNT {n+1} {k} }\, a^{n-k+1}\cdot b^{k} + b^{n+1}\) \(\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^{n} { \chooseNT {n+1} {k} }\, a^{n-k+1}\cdot b^{k} + \chooseNT {n+1}{n+1} a^0b^{n+1}\) \(\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^{n+1} { \chooseNT {n+1} {k} }\, a^{n-k+1}\cdot b^{k}\)
Zur dritten binomischen Formel: \(\displaystyle (a-b)\sum\limits_{k=0}^na^{n-k}b^k\) \(\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^na^{n-k+1}b^k-\sum\limits_{k=0}^na^{n-k}b^{k+1}\) \(\displaystyle =a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^na^{n-k+1}b^k-\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^{k+1}\)\(\displaystyle =a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^na^{n-k+1}b^k-\sum\limits_{k=1}^na^{n-k+1}b^k\) \(\displaystyle =a^{n+1}-b^{n+1}\) \(\displaystyle \qed\)
 
 

Satz 5306A (Folgerungen aus dem binomischen Satz)

Für alle natürlichen Zahlen \(\displaystyle n\) gilt:
  1. \(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n \chooseNT n k =2^n\)
  2. \(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n \chooseNT {m+k} k =\chooseNT {m+n+1}{n}\)

Beweis

i. Folgt aus dem Binomischen Satz für \(\displaystyle a=b=1\).
ii. Beweis über vollständige Induktion. Für \(\displaystyle n=0\) gilt offensichtlich: \(\displaystyle \chooseNT m 0 =\chooseNT {m+1} 0 =1\)
\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n+1} \chooseNT {m+k} k \) \(\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^{n} \chooseNT {m+k} k+ \chooseNT {m+n+1} {n+1}\)
\(\displaystyle =\chooseNT {m+n+1}{n}+ \chooseNT {m+n+1} {n+1}\) (nach Induktionsvoraussetzung)
\(\displaystyle =\chooseNT {m+n+2}{n+1}\) (nach Satz 5305L) \(\displaystyle \qed\)

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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