Mittlerer Binomialkoeffizient

In Mathematik ist der nn-te mittlere Binomialkoeffizient für eine nichtnegative ganze Zahl nn gegeben durch
(2nn)=(2n)!(n!)2\chooseNT{2n}{n} = \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}
Der Name "mittlerer Binomialkoeffizient" kommt daher, dass diese Binomialkoeffizienten im pascalschen Dreieck genau in der Zeilenmitte liegen. Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten sind:
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …
Mit Hilfe der Stirling-Formel erhält man für n≥1n \geq 1 die Abschätzung:
124nπn<(2nn)<24nπn\dfrac{1}{2} \dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}} < \chooseNT{2n}{n} < \sqrt{2} \dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}
Also gilt (zur Notation siehe Landau-Symbol):
(2nn)∈Θ(4nn)\chooseNT{2n}{n} \in \Theta\braceNT{\dfrac{4^n}{\sqrt{n}}}
Genauer:
lim⁡n→∞((2nn)(4nπn)−1)=1\lim_{n\rightarrow\infty} \braceNT{\chooseNT{2n}{n} \braceNT{\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}}^{-1} } = 1
Die erzeugende Funktion der mittleren Binomialkoeffizienten lautet
∑n=0∞(2nn)xn\sum\limits_{n=0}^\infty \chooseNT{2n}{n} x^n =1+2x+6x2+20x3+70x4+252x5+⋯ = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots =11−4x =\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}
Eng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die Catalan-Zahlen CnC_n. Sie sind gegeben durch
Cn=1n+1(2nn)C_n = \dfrac{1}{n+1} \chooseNT{2n}{n}
Im pascalschen Dreieck haben nur die Zeilen mit geradzahligem Index einen eindeutigen mittleren Eintrag, die Zeilen mit ungeradzahligem Index haben dagegen zwei in der Mitte liegende Einträge. Da diese beiden Einträge jedoch stets übereinstimmen, werden sie gelegentlich in die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten mit einbezogen, sie lautet dann:
(m⌊m2⌋) \chooseNT{m}{{\brFloor{ \dfrac{m}{2} }} } für m∈N0m\in\mathbb{N}_0.
Die erste Definition erhält man, wenn man hier die geraden Zahlen mm betrachtet.
 
 

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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