Binomialkoeffizient

Wir definieren den Binomialkoeffizienten unter Benutzung der Fakultät:
(nk)=n!k!(n−k)!\chooseNT n k = \dfrac {n!}{k!(n-k)!}
Gelesen wird dies als nn über kk. Die Definition ist nur sinnvoll für n≥kn\geq k. Man kann die Werte folgendermaßen in einem Zahlenschema anordnen.
Aus dem pascalschen Dreieck leitet man den folgenden Satz ab:

Satz 5305L (Eigenschaften des Binomialkoeffizienten)

  1. (n0)=(nn)=1\chooseNT n 0=\chooseNT n n=1
  2. (nk)=(nn−k)\chooseNT n k=\chooseNT n {n-k}
  3. (n+1k)=(nk−1)+(nk)\chooseNT {n+1} k=\chooseNT n {k-1} +\chooseNT n {k}
 
 

Beweis

i. und ii. trivial mit Einsetzen der Definition.
iii. braucht ein bischen Rechnerei: (nk−1)+(nk)\chooseNT n {k-1} +\chooseNT n {k} =n!(k−1)!(n−k+1)!+n!k!(n−k)!= \dfrac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+ \dfrac {n!}{k!(n-k)!} =n!⋅k(k−1)!(n−k+1)!⋅k+n!⋅(n−k+1)k!(n−k)!⋅(n−k+1)=\dfrac {n!\cdot k}{(k-1)!(n-k+1)!\cdot k}+ \dfrac {n!\cdot(n-k+1)}{k!(n-k)!\cdot(n-k+1)} =n!⋅kk!(n−k+1)!+n!⋅(n−k+1)k!(n−k+1)!\dfrac {n!\cdot k}{k!(n-k+1)!}+ \dfrac {n!\cdot(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} =n!⋅k+n!⋅(n−k+1)k!(n−k+1)!\dfrac {n!\cdot k+n!\cdot(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} =n!⋅(k+n−k+1)k!(n−k+1)!=\dfrac {n!\cdot (k+n-k+1)}{k!(n-k+1)!} =n!⋅(n+1)k!(n−k+1)!=\dfrac {n!\cdot (n+1)}{k!(n-k+1)!} =(n+1)!k!(n−k+1)!=(n+1k)=\dfrac {(n+1)!}{k!(n-k+1)!}=\chooseNT {n+1} k □\qed

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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