Binomialkoeffizient

Wir definieren den Binomialkoeffizienten unter Benutzung der Fakultät:
\(\displaystyle \chooseNT n k = \dfrac {n!}{k!(n-k)!}\)
Gelesen wird dies als \(\displaystyle n\) über \(\displaystyle k\). Die Definition ist nur sinnvoll für \(\displaystyle n\geq k\). Man kann die Werte folgendermaßen in einem Zahlenschema anordnen.
Aus dem pascalschen Dreieck leitet man den folgenden Satz ab:

Satz 5305L (Eigenschaften des Binomialkoeffizienten)

  1. \(\displaystyle \chooseNT n 0=\chooseNT n n=1\)
  2. \(\displaystyle \chooseNT n k=\chooseNT n {n-k}\)
  3. \(\displaystyle \chooseNT {n+1} k=\chooseNT n {k-1} +\chooseNT n {k}\)
 
 

Beweis

i. und ii. trivial mit Einsetzen der Definition.
iii. braucht ein bischen Rechnerei: \(\displaystyle \chooseNT n {k-1} +\chooseNT n {k}\) \(\displaystyle = \dfrac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+ \dfrac {n!}{k!(n-k)!}\) \(\displaystyle =\dfrac {n!\cdot k}{(k-1)!(n-k+1)!\cdot k}+ \dfrac {n!\cdot(n-k+1)}{k!(n-k)!\cdot(n-k+1)}\) =\(\displaystyle \dfrac {n!\cdot k}{k!(n-k+1)!}+ \dfrac {n!\cdot(n-k+1)}{k!(n-k+1)!}\) =\(\displaystyle \dfrac {n!\cdot k+n!\cdot(n-k+1)}{k!(n-k+1)!}\) \(\displaystyle =\dfrac {n!\cdot (k+n-k+1)}{k!(n-k+1)!}\) \(\displaystyle =\dfrac {n!\cdot (n+1)}{k!(n-k+1)!}\) \(\displaystyle =\dfrac {(n+1)!}{k!(n-k+1)!}=\chooseNT {n+1} k\) \(\displaystyle \qed\)

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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