Die Traktrix

Die Traktrix oder Schleppkurve (von lat. trahere=ziehen) beschreibt die Bewegung eines Punktes, der mittels einer Stange etc. gezogen wird.

Herleitung der Gleichung

Traktrix.png
Im Punkt \(\displaystyle A=(c,0)\) liegt ein Stein o.ä. Dieser ist durch eine Schnur mit den Nullpunkt verbunden. Auf welcher Kurve bewegt sich der Stein, wenn wir das Ende der Schnur entlang der \(\displaystyle y\)-Achse nach oben bewegen?
Für einen beliebigen Punkt \(\displaystyle P(x;y)\) auf der Kurve gilt nach dem Satz des Pythagoras:
\(\displaystyle (u-y)^2+x^2=c^2\)
Die Schnur greift tangential an die Kurve an, daher ist \(\displaystyle y'=\dfrac {u-y} x\), also \(\displaystyle (u-y)^2=y'^2x^2\). Setzen wir dies ein: \(\displaystyle y'^2x^2=c^2-x^2\), also
\(\displaystyle y'=\pm\dfrac {\sqrt{c^2-x^2}} x\)
(Für den in der Grafik dargestellten Abschnitt gilt das negative Vorzeichen, da die Anstiege der Tangenten negativ sind.)
In Beispiel 167J haben wir das entsprechende Integral gelöst und erhalten: \(\displaystyle y(x)=\pm\sqrt {c^2- x^2} \, \mp c\ln \dfrac {c+\sqrt {c^2- x^2}} x+C\).
Da nach Voraussetzung \(\displaystyle y(c)=0\) gelten soll, kann die Integrationskonstante mit \(\displaystyle C=0\) bestimmt werden.
 
 

Gleichung der Traktrix

\(\displaystyle y(x)=\pm\sqrt {c^2- x^2} \, \mp c\ln \dfrac {c+\sqrt {c^2- x^2}} x\)

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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