Satz des Pythagoras

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Der Satz des Pythagoras stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks her.
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten.

Satz 16GD (Satz des Pythagoras)

In einem rechtwinkligen Dreieck seien mit \(\displaystyle c\) die Hypotenuse (längste Seite) und mit \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) die beiden anderen Seiten (Katheten) bezeichnet. Dann gilt:
\(\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\)
 
 
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Beweis über Flächenzerlegung

Wir stellen fest, dass \(\displaystyle \Delta ABC\) kongruent zu \(\displaystyle \Delta BGH\) ist. (Sie stimmen in den drei Seiten überein). Das gleiche gilt für die Dreiecke \(\displaystyle \Delta ADE\) und \(\displaystyle \Delta EFG\).
Der Flächeninhalt \(\displaystyle A_V\) des Vierecks \(\displaystyle CDFH\) ist \(\displaystyle A_V = (a+b)^2\); es gilt aber auch, dass \(\displaystyle A_V\) die Summe aus dem Flächeninhalt des Quadrates \(\displaystyle AEGB\) und dem Vierfachen des Flächeninhaltes des Dreiecks \(\displaystyle \Delta ABC\) (\(\displaystyle A_D = \dfrac{ab}{2}\)) ist. Damit erhalten wir: \(\displaystyle (a+b)^2 = c^2 + 4\cdot \dfrac{ab}{2}\). D.h. \(\displaystyle a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab\) und die Behauptung ergibt sich sofort. \(\displaystyle \qed\)

Pythagoreische Tripel

Pythagoreische Tripel sind ganze Zahlen für die die Beziehung \(\displaystyle c^2=a^2+b^2\) gilt. Einfachste Tripel ist \(\displaystyle 3^2+4^2=5^2\). Mittels dieses pythagoreischen Zahlentripels kann man einen rechten Winkel konstruieren, indem man ein Dreieck mit den entsprechenden Seitenlängen auslegt.
Auf Grund seiner Bedeutung zeigen wir noch, dass wir den Satz des Pythagoras aus diversen anderen Beziehungen herleiten können.
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Herleitung aus dem Kathetensatz

Nach dem Kathetensatz gilt \(\displaystyle a^2 = pc\) und \(\displaystyle b^2 = qc\).
Also: \(\displaystyle a^2 + b^2 = pc + qc = (p+q)c = c^2\).
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Herleitung aus Höhensatz

Man konstruiert den Thaleskreis mit dem Mittelpunkt \(\displaystyle A\) und dem Radius \(\displaystyle c\). Das Dreieck \(\displaystyle DEB\) ist nach dem Satz des Thales rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \(\displaystyle B\) und der Höhe \(\displaystyle a=BC\). Man wende den Höhensatz an: \(\displaystyle a^2=(c-b)(c+b)=c^2-b^2\), woraus man sofort \(\displaystyle c^2=a^2+b^2\) erhält.

Herleitung aus dem Kosinussatz

Der Cosinussatz für das allgemeine Dreieck lautet: \(\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos\gamma\), wobei \(\displaystyle \gamma\) der von den Seiten \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) eingeschlossene Winkel ist.
Für \(\displaystyle \gamma=90°\) ergibt sich der Pythagoras als Spezialfall sofort.

Herleitung aus dem Sinussatz

Laut Sinussatz gilt: \(\displaystyle \dfrac {\sin\alpha}a = \dfrac {\sin\beta}b = \dfrac {\sin\gamma}c\). Da \(\displaystyle \gamma=90°\) ist, erhalten wir: \(\displaystyle \dfrac {\sin\alpha}a = \dfrac {\sin\beta}b = \dfrac {1}c\). Etwas umgeformt ergeben sich: \(\displaystyle a=c\cdot \sin\alpha\) und \(\displaystyle b=c\cdot \sin\beta\).
Natürlich kann man dieses Beziehungen auch gleich durch Anwendung der Definition des Sinus erhalten.
Jedenfalls ist \(\displaystyle a^2+b^2=c^2(\sin^2\alpha+\sin^2\beta)\). Womit uns nur noch zu zeigen bleibt, dass \(\displaystyle \sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)
Wir wissen: \(\displaystyle \sin\beta= \sin(90°-\alpha)=\cos\alpha\) und mit \(\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) ergibt sich die Behauptung.
Bei dieser Herleitung haben wir etwas gemogelt. In der Regel steckt in der Beziehung \(\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) schon der Satz des Pythagoras, den wir hier ja erst beweisen wollen.

Mit dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass für die Seitenlängen die Gleichung \(\displaystyle c^2=a^2+b^2\) gilt. Man kann nun natürlich fragen, ob dies hinreichend ist um rechtwinklige Dreieck zu charakterisieren. Die Antwort darauf liefert der folgende Satz:

Satz (Umkehrung des Satzes des Pythagoras)

Gilt in einem Dreieck \(\displaystyle c^2=a^2+b^2\), so ist dieses Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse \(\displaystyle c\).

Beweis

Im Dreieck \(\displaystyle \triangle ABC\) gelte \(\displaystyle c^2=a^2+b^2\). Sei \(\displaystyle \triangle A'B'C'\) ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck für das gilt \(\displaystyle |A'C'|=b\) und \(\displaystyle |B'C'|=a\). In diesem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: \(\displaystyle |A'B'|^2=|A'C'|^2+|B'C'|^2\) \(\displaystyle =a^2+b^2\). Wegen \(\displaystyle c^2=a^2+b^2\) ist \(\displaystyle c^2=|A'B'|^2\), also \(\displaystyle c=|A'B'|\). Damit stimmen die Dreiecke \(\displaystyle \triangle ABC\) und \(\displaystyle \triangle A'B'C'\) in allen drei Seiten überein und sind kongruent. Dann muss \(\displaystyle \triangle ABC\) aber rechtwinklig sein. \(\displaystyle \qed\)

Beispiel

Die sogenannte Zwölfknotenschnur ist ein einfaches Werkzeug, mit dessen Hilfe rechte Winkel bestimmt wurden. Dazu wurde eine Schnur durch elf Knoten in zwölf gleiche Teile geteilt. Legt man diese nun zu einem Dreieck, wobei die Seiten das Verhältnis \(\displaystyle 3:4:5\) aufweisen, dann erfüllen sie die Gleichung \(\displaystyle (3x)^2+(4x)^2=(5x)^2\), wobei \(\displaystyle x\) die Länge der Teile ist. Dieses Dreieck ist damit nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras ein rechtwinkliges Dreieck.

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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