Kosinussatz

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Andere Schreibweise: Cosinussatz.

Satz 5330N (Kosinussatz)

In einem beliebigen Dreieck gilt:
a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡αa^2 = b^2 +c^2 - 2bc\cdot \cos\alpha
b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡βb^2 = a^2 +c^2 - 2ac\cdot \cos\beta
c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γc^2 = a^2 +b^2 - 2ab\cdot \cos\gamma

Beweis

Für die Herleitung benutzen wir den Satz des Pythagoras. Danach gilt im rechtwinkligen Dreieck ΔBCD\Delta BCD:
a2=h2+(c−q)2a^2 = h^2 + (c-q)^2 =h2+c2−2cq+q2=h^2 + c^2 -2cq +q^2.(1)
Nun ist nach dem Satz des Pythagoras auch im rechtwinkligen Dreieck ΔADC\Delta ADC: b2=h2+q2b^2=h^2+q^2, also gilt:
a2=b2+c2−2cqa^2 = b^2+c^2-2cq(2)
Mit der Definition des Kosinus haben wir cos⁡α=qb\cos\alpha = \dfrac {q}{b} und umgestellt zu: q=b⋅cos⁡αq=b\cdot \cos \alpha. Setzen wir dies in (2) ein, ergibt sich die Behauptung:
a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡αa^2 = b^2 +c^2 - 2bc\cdot \cos\alpha.
Die anderen Fälle erhält man durch analoge Überlegungen mit den anderen Seiten und Winkeln. □\qed

Für rechtwinklige Dreiecke erhält man wegen cos⁡90°=0\cos 90°=0 als Spezialfall den Satz des Pythagoras zurück.
Mit dem Kosinussatz kann man bei zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen.
 
 

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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Das Dreieck