Halbwinkelsätze

Bei Kenntnis der Seitenlängen, können die halben Winkelgrößen aller Innenwinkel eines Dreiecks über Sinus, Kosinus oder Tangens bestimmt werden.

Satz 167Z (Halbwinkelsätze im Dreieck)

Seien a,b,ca,b,c die Seiten eines Dreiecks, α,β,γ\alpha, \beta, \gamma die gegenüberliegenden Winkel und s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}2 der halbe Umfang.
Dann gilt:
sin⁡α2=(s−b)(s−c)bc\sin \dfrac \alpha 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-b)(s-c)} {bc}} sin⁡β2=(s−a)(s−c)ac\sin \dfrac \beta 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-c)} {ac}} sin⁡γ2=(s−a)(s−b)ab\sin \dfrac \gamma 2 = \sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab}}
cos⁡α2=s(s−a)bc\cos \dfrac \alpha 2 = \sqrt {\dfrac {s(s-a)} {bc}} cos⁡β2=s(s−b)ac\cos \dfrac \beta 2 = \sqrt {\dfrac {s(s-b)} {ac}} cos⁡γ2=s(s−c)ab\cos \dfrac \gamma 2 = \sqrt{ \dfrac {s(s-c)} {ab}}
tan⁡α2=(s−b)(s−c)s(s−a)\tan \dfrac \alpha 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} tan⁡β2=(s−a)(s−c)s(s−b)\tan \dfrac \beta 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} tan⁡γ2=(s−a)(s−b)s(s−c)\tan \dfrac \gamma 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}
 
 

Beweis

Aus der Formel des Cosinussatzes c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γc^2 =a^2 +b^2 - 2ab\cdot \cos\gamma erhalten wir
cos⁡γ=a2+b2−c22ab\cos\gamma = \dfrac{ a^2 + b^2 - c^2 }{2ab}(1)
Es ist cos⁡γ2=1+cos⁡γ2\cos \dfrac\gamma 2 = \sqrt{\dfrac{1+\cos\gamma}2} (vgl. Satz 5316D). Setzen wir hier (1) ein, ergibt sich: cos⁡γ2=1+a2+b2−c22ab2\cos \dfrac\gamma 2 =\sqrt{\dfrac{1+ \dfrac { a^2 + b^2 - c^2 }{2ab}} {2}} =2ab+a2+b2−c24ab=\sqrt{\dfrac{2ab + a^2 + b^2 - c^2}{4ab}} =(a+b)2−c24ab=\sqrt{\dfrac{(a+b)^2 - c^2}{4ab}} =a+b+c2⋅a+b−c2⋅1ab=\sqrt{ \dfrac{a+b+c} 2 \cdot \dfrac{a+b-c} 2 \cdot \dfrac 1 {ab}} =s⋅(s−c)⋅1ab=\sqrt{ s \cdot (s-c) \cdot \dfrac 1 {ab}} =s(s−c)ab=\sqrt {\dfrac {s(s-c)} {ab}}.
Geht man von den anderen Varianten des Kosinussatzes aus, erhält man die Behauptungen für cos⁡α2\cos\dfrac \alpha 2 und cos⁡β2\cos\dfrac \beta 2.
Benutzen wir nun sin⁡γ2=1−cos⁡γ2\sin \dfrac \gamma 2 = \sqrt{ \dfrac {1- \cos \gamma} 2} (Satz 5316D), erhalten wir sin⁡γ2=\sin \dfrac\gamma 2 = 1−a2+b2−c22ab2\sqrt{\dfrac{1- \dfrac { a^2 + b^2 - c^2 }{2ab}} {2}} =2ab−a2−b2+c24ab=\sqrt{\dfrac{2ab - a^2 - b^2 + c^2}{4ab}} =−(a−b)2+c24ab=\sqrt{\dfrac{-(a-b)^2 + c^2}{4ab}} =(a−b)+c2⋅−(a−b)+c2⋅1ab=\sqrt{ \dfrac{(a-b)+c} 2 \cdot \dfrac{-(a-b)+c} 2 \cdot \dfrac 1 {ab}} =a+c−b2⋅b+c−a2⋅1ab=\sqrt{ \dfrac{a+c-b} 2 \cdot \dfrac{b+c-a} 2 \cdot \dfrac 1 {ab}} =(s−a)⋅(s−b)⋅1ab=\sqrt{ (s-a) \cdot (s-b) \cdot \dfrac 1 {ab}} =(s−a)(s−b)ab=\sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab}}
Die anderen beiden Beziehungen für den Sinus ergeben sich wieder analog.
Bekanntlich ist tan⁡γ=sin⁡γcos⁡γ\tan\gamma = \dfrac {\sin \gamma}{\cos \gamma}, also: tan⁡γ2=\tan \dfrac \gamma 2 = (s−a)(s−b)abs(s−c)ab\sqrt {\dfrac {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab}}{ \dfrac {s(s-c)} {ab}}} == (s−a)(s−b)s(s−c)\sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}.
Durch analoges Schließen für die Winkel β\beta und γ\gamma erhält man die anderen Beziehungen für den Tangens. □\qed

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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