Dreiecksungleichung
In jedem
Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die Dritte.
Sind die Seiten
a,
b und
c so gilt also:
a+b>c;
a+c>b;
b+c>a
Anschaulich ergibt sich die Gültigkeit der Gleichung aus der Eigenschaft einer
Strecke, die kürzeste Verbindung zweier
Punkte zu sein.
Anwendung
Die
Dreiecksungleichung hilft schnell zu entscheiden, ob bei gegebenen Seitenlängen ein
Dreieck konstruierbar ist.
Man kann z.B. kein
Dreieck mit den Seitenlängen 2cm, 3cm und 6cm konstruieren, da die
Dreiecksungleichung verletzt wäre.
Herleitung aus dem Cosinussatz
Die Stücke des
Dreiecks seien wie üblich bezeichnet.
Es gilt nach Definition des
Kosinus für beliebiges
γ:
−1≤cosγ≤1,
also
0≤1+cosγ.
0≤2ab(1+cosγ)=2ab+2abcosγ.
(1)
c2=a2+b2−2abcosγ
c2≤a2+b2−2abcosγ+2ab+2abcosγ=a2+b2+2ab.
c2≤(a+b)2,
(2)
und nach dem Wurzelziehen ergibt sich die Behauptung. Für die anderen Seiten kann man analog rechnen. Die Gleichheit kann in
(2) nur dann auftreten, wenn
γ=180° gilt, ein Fall, der in einem
Dreieck aber nicht vorkommen kann.
□
Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.
Émile Lemoine
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