Pythagoreische Tripel

Als pythagoreisches Tripel bezeichnet man jedes Tripel natürlicher Zahlen, das als Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks vorkommen kann, für das also der Satz des Pythagoras gilt. Sie wurden bereits von Diophant behandelt.
Es handelt sich dabei genau um die positiven Lösungen der diophantischen Gleichung
a2+b2=c2 a^2 + b^2 = c^2 (a,b,c∈Za,b,c \in \mathbb{Z})
Hat man ein Tripel (a,b,c)(a,b,c), so ist wegen (na)2+(nb)2(na)^2+(nb)^2 =n2(a2+b2)=n^2(a^2+b^2) =n2c2=(nc)2=n^2c^2=(nc)^2 auch (na,nb,nc)(na,nb,nc) ein pythagoreisches Tripel. Damit gibt es unendlich viele pythagoreische Zahlentripel und man kann aus pythagoreischen Tripeln gemeinsame Faktoren kürzen.
Wenn a,b,ca,b,c gekürzt ist, d.h., wenn sie keinen gemeinsamen Teiler haben, dann spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel.

Beispiele

Das einfachste (primitive) pythagoreische Tripel ist (3,4,5).
(5,12,13) ist ein primitives Tripel.
(15,20,25) und (15,36,39) sind nicht primitv.

Erzeugung primitiver Tripel

Sei (a,b,c)(a,b,c) ein primitives Tripel. Dann ist cc ungerade. (Wäre cc gerade, so wäre auch a2+b2a^2+b^2 gerade und wir könnten mit 2 kürzen.)
Damit ist einer der Summanden aa und bb gerade und der andere ungerade. Wir nehmen an, bb ist gerade.
Es ist
b2=c2−a2=(c+a)(c−a)b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a).(1)
Da bb gerade ist auch
(b2)2=c+a2⋅c−a2\braceNT{\dfrac b 2}^2=\dfrac {c+a} 2\cdot \dfrac {c-a} 2(2)
eine Gleichung mit ganzen Zahlen.
Wir zeigen, dass c+a2\dfrac {c+a} 2 und c−a2\dfrac {c-a} 2 teilerfremd sind.
Indirekt: Sei gg ein gemeinsamer Teiler. Dann gilt g∣c+a2g\ntxbraceIO{\dfrac {c+a} 2} und g∣c−a2g\ntxbraceIO{\dfrac {c-a} 2} und damit: g∣c+a2+c−a2g\ntxbraceIO{\dfrac {c+a} 2+\dfrac {c-a} 2} und g∣c+a2−c−a2g\ntxbraceIO{\dfrac {c+a} 2-\dfrac {c-a} 2} , also g∣cg|c und g∣ag|a. Wegen (1) ist auch g∣bg|b, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass es bei (a,b,c)(a,b,c) um ein primitives Tripel handelt.
Das bedeutet nun aber, dass auf der rechten Seite von (2) das Produkt zweier Quadratzahlen u2u^2 und v2v^2 steht. Wir setzen:
u2=c+a2u^2=\dfrac {c+a} 2 und v2=c−a2v^2=\dfrac {c-a} 2.
Damit haben wir auch eine Formel an der Hand, mit der wir die pythagoreischen Zahlentripel erzeugen können:
a=u2−v2 a = u^2-v^2, b=2uvb = 2uv und c=u2+v2c = u^2+v^2(3)
Diese Formeln liefern für beliebige u,v∈Z,u>v u,v \in \mathbb{Z}, u>v ein pythagoreisches Tripel. Jedes primitive pythagoreische Tripel (a,b,c)(a,b,c) hat genau eine solche Darstellung, und zwar mittels:
u=c+a2 u = \sqrt{\dfrac{c+a}{2}}, v=c−a2v = \sqrt{\dfrac{c-a}{2}}
wenn bb die gerade Zahl des Tripels ist. uu und vv sind dann teilerfremde natürliche Zahlen mit u>vu>v, wobei eine gerade und die andere ungerade ist. Damit gibt es auch unendlich viele primitive pythagoreische Tripel.
Die Tabelle zeigt die kleinsten primitiven Tripel.
u v a b c
2 1 3 4 5
3 2 5 12 13
4 1 15 8 17
4 3 7 24 25
Obige Herleitung hilft folgenden Satz zu beweisen:

Satz 16FJ (Teilbarkeit pythagoreischer Zahlentripel)

Sei a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 eine pythagoreisches Tripel. Dann gilt
(a+b+c)∣a⋅b⋅c(a+b+c)|a\cdot b\cdot c

Beweis

Nach (3) gilt: a=u2−v2 a = u^2-v^2, b=2uvb = 2uv und c=u2+v2c = u^2+v^2, damit ist
a+b+c=2u2+2uva+b+c=2u^2+2uv =2u(u+v)=2u(u+v)
und
a⋅b⋅c=2uv(u2−v2)(u2+v2)a\cdot b\cdot c=2uv(u^2-v^2)(u^2+v^2) =2uv(u+v)(u−v)(u2+v2)=2uv(u+v)(u-v)(u^2+v^2).
Man sieht, dass beide Ausdrücke 2u(u+v)2u(u+v) als gemeinsamen Faktor haben. Außerdem gilt sogar (a+b+c)∣a⋅b(a+b+c)|a\cdot b, da c=u2+v2c = u^2+v^2 für den Beweis nicht benötigt wurde. □\qed
 
 

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Elementare Zahlentheorie