Beispiel

Die lineare Diophantische Gleichung 6x+10y=1006x+10y = 100 soll gelöst werden.

Partikularlösung

Der erweiterte euklidische Algorithmus liefert:
66 == 1⋅61\cdot 6 ++ 0⋅100\cdot 10
1010 == 0⋅60\cdot 6 ++ 1⋅101\cdot 10
44 == (−1)⋅6(\me)\cdot 6 ++ 1⋅101\cdot 10
22 == 2⋅62\cdot 6 ++ (−1)⋅10(\me)\cdot 10 (2 ist der ggT von 6 und 10)
00 == (−5)⋅6(-5)\cdot 6 ++ 3⋅103\cdot 10
Aus der vorletzten Zeile ergibt sich durch Multiplikation mit 100/2=50100/2=50:
100=100⋅6+(−50)⋅10 100 = 100\cdot 6 + (-50)\cdot 10\,
Eine Partikularlösung ist also (x,y)=(100,−50)(x,y)=(100,-50).

Lösungen der homogenen Gleichung

Es ist a=6,b=10,g=2a=6,b=10,g=2, also a′=3,b′=5a'=3,b'=5. Die homogene Gleichung
6x+10y=06x+10y=0
hat also die Lösungen (x,y)=(5t,−3t)(x,y)=(5t,-3t) für ganze Zahlen tt.

Gesamtheit der Lösungen

Alle Lösungen ergeben sich also als
(x,y)=(100+5t,−50−3t),(x,y)=(100+5t,-50-3t),
beispielsweise sind die Lösungen mit nichtnegativen xx und yy
t=-20: (0,10)
t=-19: (5,7)
t=-18: (10,4)
t=-17: (15,1)
 
 

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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