Kürzen von Brüchen

Das Kürzen bedeutet in einem Bruch den Zähler und Nenner durch gemeinsame Faktoren zu dividieren. Dabei bleibt der Wert des Bruchs erhalten.
Sind \(\displaystyle a, b, c\) ganze Zahlen, \(\displaystyle b, c\) \(\displaystyle \ne\) 0, dann gilt
\(\displaystyle \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} \, = \, \dfrac{a}{b}\)
Liest man diese Gleichung von links nach rechts, dann wird der Bruch \(\displaystyle (ac)/(bc)\) mit \(\displaystyle c\) gekürzt, liest man sie von rechts nach links, dann wird der Bruch \(\displaystyle a/b\) mit \(\displaystyle c\) erweitert.
Zum Kürzen ist es hilfreich, Zähler und Nenner des Bruchs in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Gleiche Primfaktoren können dann einfach paarweise in Zähler und Nenner herausgestrichen werden. Es ist bei größeren Zahlen jedoch oft einfacher, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) mit dem euklidischen Algorithmus zu bestimmen, denn der ggT ist die größte Zahl, mit der man einen gegebenen Bruch kürzen kann.
Beispiele:
\(\displaystyle \dfrac{6}{8} \, = \, \dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} \, = \, \dfrac{3}{4}\)
\(\displaystyle \dfrac{200}{8800} \, = \, \dfrac{1 \cdot 200}{44 \cdot 200} \, = \, \dfrac{1}{44}\)
Die Beispiele zeigen, dass sich durch das Kürzen meist erhebliche Vereinfachungen ergeben, was insbesondere das eventuelle Weiterrechnen mit den Brüchen deutlich erleichtert.
 
 

Merksprüche

  • Faktoren kürzen, das ist brav; wer Summen kürzt, der ist ein Schaf.
  • Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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