Stammbrüche und Stammbruchentwicklung

Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler 11. Er hat also die allgemeine Form 1n\dfrac{1}{n}, wobei n>1n>1 eine natürliche Zahl ist.

Beispiele

12\dfrac{1}{2}, 13\dfrac{1}{3} und 16\dfrac{1}{6} sind Stammbrüche, wohingegen 23\dfrac{2}{3} und 76\dfrac{7}{6} keine sind.

Stammbruchentwicklung

Jeder Bruch ab\dfrac{a}{b} lässt sich als Summe von Stammbrüchen und einer natürlichen Zahl darstellen. (Wir betrachten 00 als natürliche Zahl um den Fall a>ba>b zu berücksichtigen.) Diese Zerlegung nennt man Stammbruchentwicklung.

Beispiele

23=(0+)12+16\dfrac{2}{3} = (0+ )\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}
76=1+16\dfrac{7}{6} = 1 + \dfrac{1}{6} =12+13+13= \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{3}
1312=1+112\dfrac{13}{12} = 1 + \dfrac{1}{12} =12+13+14= \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}
Die Beispiele zeigen, dass die Stammbruchentwicklung weder eindeutig sein muss, noch aus paarweise verschiedenen Stammbrüchen bestehen muss.

Verfahren

Wir subtrahieren zunächst den ganzzahligen Anteil und können uns somit auf ein Verfahren für echte Brüche ab\dfrac a b mit a<ba<b beschränken.
Kurzform: Wir subtrahieren solange Stammbrüche von ab\dfrac a b bis das Ergebnis selbst ein Stammbruch ist.
Konkret: Ist ab\dfrac a b bereits ein Stammbruch, sind wir fertig. Andernfalls gibt es ein m∈Nm\in N mit 1m<ab\dfrac 1 m <\dfrac a b, wir wählen das kleinste solcher mm. Wir berechnen wir d=ab−1md=\dfrac a b-\dfrac 1 m und führen den gleichen Schrtt wieder aus.
(Dieses Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab, da man zeigen kann, dass die Zähler der Restbrüche jeweils kleiner sind als diejenige des vorherigen Schrittes.)

Beispiel

59120=13+19120\dfrac{59}{120} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{19}{120}=13+17+13840= \dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{7} + \dfrac{13}{840} =13+17+165+110920= \dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{65} + \dfrac{1}{10920}
Dieses Verfahren liefert nicht zwingend die kürzestmögliche Stammbruchentwicklung, für obiges Beispiel eine kürzere Stammbruchentwicklung:
59120=15+16+18\dfrac{59}{120} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{8}.
 
 

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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