Stammbrüche und Stammbruchentwicklung

Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler \(\displaystyle 1\). Er hat also die allgemeine Form \(\displaystyle \dfrac{1}{n}\), wobei \(\displaystyle n>1\) eine natürliche Zahl ist.

Beispiele

\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\), \(\displaystyle \dfrac{1}{3}\) und \(\displaystyle \dfrac{1}{6}\) sind Stammbrüche, wohingegen \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) und \(\displaystyle \dfrac{7}{6}\) keine sind.

Stammbruchentwicklung

Jeder Bruch \(\displaystyle \dfrac{a}{b}\) lässt sich als Summe von Stammbrüchen und einer natürlichen Zahl darstellen. (Wir betrachten \(\displaystyle 0\) als natürliche Zahl um den Fall \(\displaystyle a>b\) zu berücksichtigen.) Diese Zerlegung nennt man Stammbruchentwicklung.
 
 

Beispiele

\(\displaystyle \dfrac{2}{3} = (0+ )\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}\)
\(\displaystyle \dfrac{7}{6} = 1 + \dfrac{1}{6}\) \(\displaystyle = \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{3}\)
\(\displaystyle \dfrac{13}{12} = 1 + \dfrac{1}{12}\) \(\displaystyle = \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}\)
Die Beispiele zeigen, dass die Stammbruchentwicklung weder eindeutig sein muss, noch aus paarweise verschiedenen Stammbrüchen bestehen muss.

Verfahren

Wir subtrahieren zunächst den ganzzahligen Anteil und können uns somit auf ein Verfahren für echte Brüche \(\displaystyle \dfrac a b\) mit \(\displaystyle a<b\) beschränken.
Kurzform: Wir subtrahieren solange Stammbrüche von \(\displaystyle \dfrac a b\) bis das Ergebnis selbst ein Stammbruch ist.
Konkret: Ist \(\displaystyle \dfrac a b\) bereits ein Stammbruch, sind wir fertig. Andernfalls gibt es ein \(\displaystyle m\in N\) mit \(\displaystyle \dfrac 1 m <\dfrac a b\), wir wählen das kleinste solcher \(\displaystyle m\). Wir berechnen wir \(\displaystyle d=\dfrac a b-\dfrac 1 m\) und führen den gleichen Schrtt wieder aus.
(Dieses Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab, da man zeigen kann, dass die Zähler der Restbrüche jeweils kleiner sind als diejenige des vorherigen Schrittes.)

Beispiel

\(\displaystyle \dfrac{59}{120} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{19}{120}\)\(\displaystyle = \dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{7} + \dfrac{13}{840} \) \(\displaystyle = \dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{65} + \dfrac{1}{10920}\)
Dieses Verfahren liefert nicht zwingend die kürzestmögliche Stammbruchentwicklung, für obiges Beispiel eine kürzere Stammbruchentwicklung:
\(\displaystyle \dfrac{59}{120} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{8}\).

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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