Flächenberechnungen
Beispiel (Fläche unter der Einheitsparabel)
Wir wollen die Fläche
F F F unter der Einheitsparabel
y = x 2 y=x^2 y = x 2 im
Intervall [ 0 , a ] [0, a] [ 0 , a ] für ein festes
a a a bestimmen.
Dazu setzen wir an:
F = ∫ 0 a x 2 d x = [ x 3 3 ] 0 a = a 3 3 F=\int\limits_0^a {x^2} \, \d x= {\ntxbraceL { \dfrac {x^3} 3}}_0^a = \dfrac {a^3} 3 F = 0 ∫ a x 2 d x = [ 3 x 3 ] 0 a = 3 a 3 .
Für das Einheitsintervall
[ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ist die Fläche damit
1 3 \dfrac 1 3 3 1 .
Beispiel 15W0
Fläche von Kreis und Ellipse mittels Integralrechnung
Aus der Gleichung der
Ellipse in Normalform
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 (
Formel 15VN ) leiten wir die
Funktion y = b a a 2 − x 2 y=\dfrac b a \sqrt{a^2-x^2} y = a b a 2 − x 2 für eine Halbellipse ab.
F = 2 ⋅ ∫ − a a b a a 2 − x 2 d x F=2\cdot\int\limits_{-a}^a\dfrac b a \sqrt{a^2-x^2}\d x F = 2 ⋅ − a ∫ a a b a 2 − x 2 d x
ermittelt werden.
∫ a 2 − x 2 d x = − a 2 2 arccos x a + x 2 a 2 − x 2 \int\limits \sqrt{a^2-x^2}\d x=-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+ \dfrac {x} 2 \sqrt{a^2-x^2 } ∫ a 2 − x 2 d x = − 2 a 2 arccos a x + 2 x a 2 − x 2 also
F = 2 ⋅ b a ⋅ [ − a 2 2 arccos x a + x 2 a 2 − x 2 ] − a a = π a b F=2\cdot\dfrac b a\cdot{\ntxbraceL{-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+ \dfrac {x} 2 \sqrt{a^2-x^2 }}\, }_{\uminus a}^a =\pi a b F = 2 ⋅ a b ⋅ [ − 2 a 2 arccos a x + 2 x a 2 − x 2 ] − a a = π a b .
Für den
Kreis r = a = b r=a=b r = a = b ergibt sich mit
π r 2 \pi r^2 π r 2 die bekannte Formel.
Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?
Albert Einstein
Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf
ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld
• Dοrfplatz 25 • 17237 Blankеnsее
• Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2) •
Email: cο@maτhepedιa.dе