Umfang des Kreises

Beispiel 15WI

Im Beispiel 15W0 haben wir den Flächeninhalt der Ellipse berechnet. Versuchen wir nun den Umfang der Ellipse zu berechnen. Die obere Hälfte der Ellipse kann mittels
y=baa2−x2y=\dfrac b a \sqrt{a^2-x^2}
als Funktion dargestellt werden.
Nun berechnen wir die benötigten Ausdrücke für die Anwendung von Formel 15W1:
y′=ba⋅−xa2−x2y'=\dfrac b a \cdot \dfrac {\uminus x}{\sqrt{a^2-x^2}}
[y′]2=b2a2⋅x2a2−x2[y']^2=\dfrac {b^2} {a^2} \cdot \dfrac { x^2}{a^2-x^2}
1+[y′]2=1+b2a2⋅x2a2−x21+[y']^2=1+\dfrac {b^2} {a^2} \cdot \dfrac { x^2}{a^2-x^2}(1)
Das sich hieraus ergebende Integral ist ein so genanntes elliptisches Integral, welches nicht mittels elementarer Funktionen darstellbar ist. Daher beschränken wir und auf den Kreis für den r=a=br=a=b gilt und (1) vereinfacht sich zu:
1+[y′]2=1+x2r2−x21+[y']^2=1+ \dfrac { x^2}{r^2-x^2} =x2+r2−x2r2−x2=\dfrac { x^2+r^2-x^2}{r^2-x^2} =r2r2−x2=\dfrac {r^2}{r^2-x^2} =11−(xr)2=\dfrac {1}{1-{\braceNT{\dfrac x r}}^2}.
Für die Bogenlänge ll des Halbkreises ergibt sich:
l=∫−rr1+[y′(x)]2d⁡x=∫−rr11−(xr)2 d⁡xl=\int\limits_{\uminus r}^r {\sqrt {1+[y'(x)]^2}\d x}=\int\limits_{\uminus r}^r {\sqrt {\dfrac {1}{1-{\braceNT{\dfrac x r}}^2}}\, \d x} =∫−rrd⁡x1−(xr)2=\int\limits_{\uminus r}^r \dfrac {\d x} {\sqrt {1-{\braceNT{\dfrac x r}}^2}}.
Unter Benutzung von Satz 5315A und Satz 5315B können wir dieses Integral lösen:
l=[r⋅arcsin⁡xr]−rr=r⋅(arcsin⁡1−arcsin⁡(−1))=rπl={\ntxbraceL{ r\cdot \arcsin \dfrac x r}}_{\uminus r}^r=r\cdot (\arcsin 1-\arcsin (\me))=r\pi.
Für den Vollkreis erhalten wir damit die bekannte Formel u=2πru=2\pi r.
 
 

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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