Beispiele zum Riemann-Integral

Konstante Funktion

Sei c∈Rc\in\R und f:[a,b]→Rf: [a,b]\to \R sei f(x):=c f(x):=c (konstante Funktion). ⇒  m=c=M\Rightarrow\; m=c=M (Minimum und Maximum sind cc) ⇒  m(b−a)=sf(Z)\Rightarrow\; m(b-a)= s_f(Z)=Sf(Z)=M(b−a)= S_f(Z)= M(b-a) für jede Zerlegung ZZ. ⇒  ∀  Z∈Z    sf(Z)=Sf(Z)=c(b−a)\Rightarrow\; \forall \; Z \in \mathcal{Z}\;\; s_f(Z)=S_f(Z)=c(b-a). ⇒  sf=Sf=c(b−a)\Rightarrow\; s_f=S_f=c(b-a). ⇒  f\Rightarrow\; f ist integrierbar auf [a,b][a,b] und
∫abf(x)  dx=c(b−a)\int\limits_a^b f(x)\; dx= c(b-a).

Lineare Funktion

Sei [a,b]=[0,1][a,b]=[0,1] und f(x):=xf(x):=x die lineare Funktion. Sei n∈Nn\in \N und Zn={x0,…,xn}Z_n=\{x_0,\ldots, x_n\} mit xj=jnx_j=\dfrac{j}{n} für j=0,…,nj=0,\ldots, n. Es ist ∣Ij∣=1n|I_j|=\dfrac{1}{n}, mj=f(xj−1)=j−1nm_j=f(x_{j-1})=\dfrac{j-1}{n}, Mj=f(xj)=jnM_j=f(x_j)=\dfrac{j}{n}. ⇒  sf(Zn)=∑j=1nj−1n⋅1n\Rightarrow\; s_f(Z_n)=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j-1}{n}\cdot \dfrac{1}{n}=1n2∑j=1n(j−1)=\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{j=1}^n (j-1)=1n2⋅n(n−1)2=n−12n=\dfrac{1}{n^2}\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n-1}{2n} ⇒  Sf(Zn)=∑j=1njn⋅1n\Rightarrow\; S_f(Z_n)=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j}{n}\cdot \dfrac{1}{n}=1n2∑j=1nj=\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{j=1}^n j=1n2⋅n(n+1)2=n+12n=\dfrac{1}{n^2}\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n+1}{2n} Also n−12n⎵→n→∞12\underbrace{\dfrac{n-1}{2n}}_{\xrightarrow{n\to\infty} \dfrac{1}{2}}=sf(Zn)≤sf≤Sf=s_f(Z_n)\leq s_f\leq S_f≤Sf(Zn)\leq S_f(Z_n)=n+12n⎵→n→∞12=\underbrace{\dfrac{n+1}{2n}}_{\xrightarrow{n\to\infty}\dfrac{1}{2}} ⇒12≤sf≤Sf≤12\Rightarrow \dfrac{1}{2}\leq s_f\leq S_f\leq \dfrac{1}{2}\quad⇒sf=Sf=12\Rightarrow\quad s_f=S_f=\dfrac{1}{2} Daher ist f f über [a,b][a,b] integrierbar, und
∫01f(x) dx\int\limits_0^1 f(x)\, dx=∫01x dx=12=\int\limits_0^1 x\, dx=\dfrac{1}{2}

Beispiel für eine nicht integrierbare Funktion

Wir definieren
f(x):={1fu¨r x∈Q∩[0,1]0fu¨r x∈[0,1]∖Qf(x):=\begin{cases}1& \text{für }x\in\Q\cap [0,1]\\0& \text{für }x\in [0,1]\setminus\Q\end{cases}
Die Funktion nimmt den Wert 11 für alle rationalen Zahlen im Intervall [0,1][0,1] an und 00 für alle anderen (irrationalen) Zahlen. ff ist beschränkt jedoch nicht integrierbar. Sei Z={x1,…,xn}Z= \{x_1,\ldots, x_n\} beliebige Zerlegung von [0,1][0,1]. Da die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen (Satz 5224A), gilt: mj=inf⁡f([xj−1,xj])=0m_j=\inf f([x_{j-1}, x_j])=0 und Mj=sup⁡f([xj−1,xj])=1M_j=\sup f([x_{j-1}, x_j])=1  ∀j∈{1,…,n}\; \forall j \in \{1,\ldots,n\}. ⇒sf(Z)=∑j=1nmj∣Ij∣=0\Rightarrow s_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n m_j|I_j|=0 und Sf(Z)=∑j=1nMj∣Ij∣=∑j=1n∣Ij∣=1S_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n M_j|I_j|=\sum\limits_{j=1}^n |I_j|=1. ⇒sf=0\Rightarrow s_f=0 und Sf=1S_f=1. Daher ist f f nicht über [0,1][0,1] integrierbar.
 
 

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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