Beispiele zum Riemann-Integral

Konstante Funktion

Sei \(\displaystyle c\in\R\) und \(\displaystyle f: [a,b]\to \R\) sei \(\displaystyle f(x):=c\) (konstante Funktion).\(\displaystyle \Rightarrow\; m=c=M\) (Minimum und Maximum sind \(\displaystyle c\))\(\displaystyle \Rightarrow\; m(b-a)= s_f(Z)\)\(\displaystyle = S_f(Z)= M(b-a)\) für jede Zerlegung \(\displaystyle Z\).\(\displaystyle \Rightarrow\; \forall \; Z \in \mathcal{Z}\;\; s_f(Z)=S_f(Z)=c(b-a)\).\(\displaystyle \Rightarrow\; s_f=S_f=c(b-a)\).\(\displaystyle \Rightarrow\; f\) ist integrierbar auf \(\displaystyle [a,b]\) und
\(\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\; dx= c(b-a)\).
 
 

Lineare Funktion

Sei \(\displaystyle [a,b]=[0,1]\) und \(\displaystyle f(x):=x\) die lineare Funktion.Sei \(\displaystyle n\in \N\) und \(\displaystyle Z_n=\{x_0,\ldots, x_n\}\) mit \(\displaystyle x_j=\dfrac{j}{n}\) für \(\displaystyle j=0,\ldots, n\).Es ist \(\displaystyle |I_j|=\dfrac{1}{n}\), \(\displaystyle m_j=f(x_{j-1})=\dfrac{j-1}{n}\), \(\displaystyle M_j=f(x_j)=\dfrac{j}{n}\).\(\displaystyle \Rightarrow\; s_f(Z_n)=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j-1}{n}\cdot \dfrac{1}{n}\)\(\displaystyle =\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{j=1}^n (j-1)\)\(\displaystyle =\dfrac{1}{n^2}\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n-1}{2n}\)\(\displaystyle \Rightarrow\; S_f(Z_n)=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j}{n}\cdot \dfrac{1}{n}\)\(\displaystyle =\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{j=1}^n j\)\(\displaystyle =\dfrac{1}{n^2}\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n+1}{2n}\)Also\(\displaystyle \underbrace{\dfrac{n-1}{2n}}_{\xrightarrow{n\to\infty} \dfrac{1}{2}}\)\(\displaystyle =s_f(Z_n)\leq s_f\leq S_f\)\(\displaystyle \leq S_f(Z_n)\)\(\displaystyle =\underbrace{\dfrac{n+1}{2n}}_{\xrightarrow{n\to\infty}\dfrac{1}{2}}\)\(\displaystyle \Rightarrow \dfrac{1}{2}\leq s_f\leq S_f\leq \dfrac{1}{2}\quad\)\(\displaystyle \Rightarrow\quad s_f=S_f=\dfrac{1}{2}\)Daher ist \(\displaystyle f\) über \(\displaystyle [a,b]\) integrierbar, und
\(\displaystyle \int\limits_0^1 f(x)\, dx\)\(\displaystyle =\int\limits_0^1 x\, dx=\dfrac{1}{2}\)

Beispiel für eine nicht integrierbare Funktion

Wir definieren
\(\displaystyle f(x):=\begin{cases}1& \text{für }x\in\Q\cap [0,1]\\0& \text{für }x\in [0,1]\setminus\Q\end{cases}\)
Die Funktion nimmt den Wert \(\displaystyle 1\) für alle rationalen Zahlen im Intervall \(\displaystyle [0,1]\) an und \(\displaystyle 0\) für alle anderen (irrationalen) Zahlen.\(\displaystyle f\) ist beschränkt jedoch nicht integrierbar.Sei \(\displaystyle Z= \{x_1,\ldots, x_n\}\) beliebige Zerlegung von \(\displaystyle [0,1]\). Da die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen (Satz 5224A), gilt:\(\displaystyle m_j=\inf f([x_{j-1}, x_j])=0\) und \(\displaystyle M_j=\sup f([x_{j-1}, x_j])=1\)\(\displaystyle \; \forall j \in \{1,\ldots,n\}\).\(\displaystyle \Rightarrow s_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n m_j|I_j|=0\) und \(\displaystyle S_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n M_j|I_j|=\sum\limits_{j=1}^n |I_j|=1\).\(\displaystyle \Rightarrow s_f=0\) und \(\displaystyle S_f=1\).Daher ist \(\displaystyle f\) nicht über \(\displaystyle [0,1]\) integrierbar.

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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