Satz von Taylor

Sei D⊂RnD\subset\R^n offen. Wir bezeichnen mit Cm(D)C^m(D) das System der mm-mal stetig partiell differenzierbaren Funktionen. Speziell ist C(D):=C0(D) C(D):=C^0(D) das System der stetigen Funktionen.

Satz 16KM (Taylorscher Satz der mehrdimensionalen Analysis)

Sei D⊂RnD\subset\R^n offen, f∈Cm+1(D)f\in C^{m+1}(D) m-mal stetig partiell differenzierbar und h:=(h1⋮hn)∈Rnh:=\begin{pmatrix}h_1\\\vdots\\h_n \end{pmatrix}\in\R^n. Liegen die Punkte ξ\xi und ξ+h\xi+h mitsamt ihrer Verbindungsstrecke ξ+th\xi+th (0≤t≤1 0\leq t\leq 1) in DD, so gibt es ein Θ\Theta mit 0<Θ<10<\Theta <1, so dass
f(ξ+h)=∑k=0m(1k!(h1∂∂x1+h2∂∂x2+⋯+hn∂∂xn)kf(ξ))f(\xi+h)=\sum\limits_{k=0}^m \left(\dfrac{1}{k!}\left(h_1 \dfrac{\partial }{\partial x_1}+h_2\dfrac{\partial }{\partial x_2} +\dots+h_n\dfrac{\partial }{\partial x_n}\right)^k f(\xi)\right) +1(m+1)!(h1∂∂x1+⋯+hn∂∂xn)m+1f(ξ+Θh)+\dfrac{1}{(m+1)!}\left(h_1\dfrac{\partial }{\partial x_1}+\dots+ h_n\dfrac{\partial }{\partial x_n}\right)^{m+1}f(\xi+\Theta h),
wobei (h1∂∂x1+⋯+hn∂∂xn)kf(ξ):=∑i1,…,ik=1n∂kf∂xik…∂xi1(ξ)hi1…hik \left(h_1\dfrac{\partial }{\partial x_1}+\dots+h_n \dfrac{\partial }{\partial x_n}\right)^k f(\xi) := \sum\limits_{i_1,\dots,i_k=1}^n \dfrac{\partial^k f}{\partial x_{i_k}\dots\partial x_{i_1}}(\xi) h_{i_1}\dots h_{i_k}=∑α1+⋯+αkk!α1!…αn!⋅∂k∂xinαn…∂xi1α1(ξ)h1α1…hnαn = \sum\limits_{\alpha_1+\dots+\alpha_k}\dfrac{k!}{\alpha_1!\dots\alpha_n!} \cdot\dfrac{\partial^k}{\partial x_{i_n}^{\alpha_n}\dots\partial x_{i_1}^{\alpha_1}} (\xi)h_1^{\alpha_1}\dots h_n^{\alpha_n} .
 
 

Beweis (für den Spezialfall n=2)

Zu zeigen f(ξ+h)=∑k=0m1k!(h1∂∂x1+h2∂∂x2)kf(ξ)f(\xi+h)=\sum\limits_{k=0}^m\dfrac{1}{k!}\left(h_1 \dfrac{\partial }{\partial x_1}+h_2\dfrac{\partial}{\partial x_2}\right)^k f(\xi)+1(m+1)!(h1∂∂x1+h2∂∂x2)m+1f(ξ+Θh) +\dfrac{1}{(m+1)!}\left(h_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+h_2 \dfrac{\partial}{\partial x_2}\right)^{m+1}f(\xi+\Theta h) wobei (h1∂∂x1+h2∂∂x2)kf(ξ):=∑α1+α2=kk!α1!α2!∂k∂x2α2∂x1α1h1α1h2α2 \left(h_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+h_2 \dfrac{\partial}{\partial x_2}\right)^kf(\xi) := \sum\limits_{\alpha_1+\alpha_2=k}\dfrac{k!}{\alpha_1!\alpha_2!} \dfrac{\partial^k}{\partial x_2^{\alpha_2} \partial x_1^{\alpha_1}} h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2}=∑j=0k(kj)∂kf∂x2k−j∂x1jh1jh2k−j = \sum\limits_{j=0}^k\binom{k}{j} \dfrac{\partial^k f}{\partial x_2^{k-j} \partial x_1^j}h_1^j h_2^{k-j} . Sei ξ=(ξ1ξ2)\xi=\begin{pmatrix} \xi_1\\\xi_2 \end{pmatrix} , h=(h1h2)h= \begin{pmatrix}h_1\\h_2 \end{pmatrix}; φ:[0,1]→R \varphi: [0,1]\rightarrow\R mit φ(t):=f(ξ+th) \varphi(t):=f(\xi+th)=f(ξ1+th1,ξ2+th2) =f(\xi_1+th_1,\xi_2+th_2) ist (m+1)(m+1) -mal stetig differenzierbar. Dann gilt φ(k)(t)=∑j=0n(kj)∂kf∂x2k−j∂x1jh1jh2k−j(ξ1+th1,ξ2+th2)\varphi^{(k)}(t)=\sum\limits_{j=0}^n \binom{k}{j} \dfrac{\partial^k f}{\partial x_2^{k-j} \partial x_1^j} h_1^j h_2^{k-j}(\xi_1+th_1,\xi_2+th_2). Durch Induktion erhält man folgendes: Induktionsanfang: φ′(t)=f′(ξ+th)h \varphi'(t) = f'(\xi+th)h=(∂f∂x1(ξ+th),∂f∂x2(ξ+th))(h1h2) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\xi+th), \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(\xi+th)\right) \begin{pmatrix} h_1\\h_2 \end{pmatrix}=h1∂f∂x1(ξ+th)+h2∂f∂x2(ξ+th) = h_1\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\xi+th)+h_2 \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(\xi+th) für k=1k=1 Induktionsschritt: φ(k+1)(t)=(φ(k)(t))′ \varphi^{(k+1)}(t) = (\varphi^{(k)}(t))'=(∑j=0k(kj)hijh2k−j∂kf∂x1j∂x2k−j(ξ+th))′ = \left(\sum\limits_{j=0}^k \binom{k}{j} h_i^j h_2^{k-j} \dfrac{\partial^k f}{\partial x_1^j \partial x_2^{k-j}}(\xi+th)\right)'=∑j=0k(kj)h1j+1h2k−j∂fk+1∂x1j+1∂x2k−j = \sum\limits_{j=0}^k\binom{k}{j} h_1^{j+1} h_2^{k-j} \dfrac{\partial f^{k+1}}{\partial x_1^{j+1} \partial x_2^{k-j}}+∑j=0k(kj)h1jh2k−j+1∂k+1f∂x1j∂x2k−j+1(ξ+th) + \sum\limits_{j=0}^k \binom{k}{j} h_1^j h_2^{k-j+1} \dfrac{\partial ^{k+1} f}{\partial x_1^j \partial x_2^{k-j+1}}(\xi+th)=∑j=1k+1(kj−1)h1jh2k−j+1∂k+1f∂x1j∂x2k−j+1(ξ+th) = \sum\limits_{j=1}^{k+1} \binom{k}{j-1}h_1^j h_2^{k-j+1} \dfrac{\partial^{k+1} f}{\partial x_1^j \partial x_2^{k-j+1}}(\xi+th)+∑j=0k(kj)h1jh2k−j+1∂k+1f∂x1j∂x2k−j+1(ξ+th) +\sum\limits_{j=0}^k \binom{k}{j}h_1^j h_2^{k-j+1} \dfrac{\partial^{k+1}f}{\partial x_1^j \partial x_2^{k-j+1}}(\xi+th)=∑j=0k+1(k+1j)h1jh2k−j+1∂k+1f∂x1j∂x2k+1−j(ξ+th) = \sum\limits_{j=0}^{k+1} \binom{k+1}{j} h_1^j h_2^{k-j+1} \dfrac{\partial^{k+1} f}{\partial x_1^j \partial x_2^{k+1-j}}(\xi+th)
Nach dem taylorschen Satz für Funktionen einer Variable gilt: φ(t)=∑k=0mφ(k)(0)k!tk+φ(m+1)(Θt)(m+1)!tk+1\varphi(t)=\sum\limits_{k=0}^m \dfrac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}t^k+\dfrac{\varphi^{(m+1)}(\Theta t)}{(m+1)!} t^{k+1} mit 0<Θ<10<\Theta <1 Für t=1t=1 ist f(ξ+h)=φ(1)f(\xi+h)=\varphi(1) =∑k=0mφ(k)(0)k!+φ(m+1)(Θ)(m+1)! =\sum\limits_{k=0}^m \dfrac{\varphi^{(k)}(0)}{k!} +\dfrac{\varphi^{(m+1)}(\Theta)}{(m+1)!}=∑k=0m1k!h1(∂∂x1+h2∂∂x2)kf(ξ) =\sum\limits_{k=0}^m\dfrac{1}{k!}h_1 \left(\dfrac{\partial }{\partial x_1} +h_2\dfrac{\partial}{\partial x_2}\right)^kf(\xi) +1(m+1)!(h1∂∂x1+h2∂∂x2)m+1f(ξ+Θh) +\dfrac{1}{(m+1)!}\left(h_1\dfrac{\partial }{\partial x_1}+h_2\dfrac{\partial}{\partial x_2}\right)^{m+1}f(\xi+\Theta h) □\qed

Folgerung 16KN

Für m=1m=1 gilt folgender Spezialfall:
Sei D⊂RnD\subset \R^n offen, f∈C2(D)f\in C^2(D) und h=(h1⋮hn)⊂Rnh=\begin{pmatrix}h_1\\\vdots\\h_n\end{pmatrix}\subset\R^n; ξ=(ξ1⋮ξn)∈D\xi=\begin{pmatrix}\xi_1\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}\in D. Liegen die Punkte ξ\xi und ξ+h\xi+h mitsamt ihrer Verbindungsstrecke ξ+th\xi+th (0≤t≤1 0\leq t\leq 1) in DD , so existiert Θ\Theta mit 0<Θ<10<\Theta <1 und es gilt: f(ξ+h)=f(ξ)+(h1∂∂x1+⋯+hn∂∂xn)f(ξ)+ f(\xi+h) = f(\xi)+\left(h_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+\dots+h_n \dfrac{\partial}{\partial x_n}\right)f(\xi)+12(h1∂∂x1+⋯+hn∂∂xn)f(ξ)2f(ξ+Θh) \dfrac{1}{2}\left(h_1 \dfrac{\partial}{\partial x_1}+\dots+h_n\dfrac{\partial}{\partial x_n}\right) f(\xi)^2f(\xi+\Theta h)=f(ξ)+h1∂h∂x1+⋯+hn∂f∂xn(ξ)+12∑j,k=1n∂2f∂xk∂xj(ξ+Θh)hjhk = f(\xi)+h_1\dfrac{\partial h}{\partial x_1}+\dots+h_n \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\xi)+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{j,k=1}^n \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k\partial x_j}(\xi+\Theta h)h_jh_k=f(ξ)+f′(ξ)h+12∑j,k=1n∂2f∂xk∂xj(ξ+Θh)hjhk = f(\xi)+f'(\xi)h+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{j,k=1}^n \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k\partial x_j}(\xi+\Theta h)h_jh_k .

Satz 16KO

Sei D⊂RnD\subset \R^n offen und f∈C2(D)f\in C^2(D) zweifach stetig differenzierbar. Für jede Umgebung Uε(ξ)⊂DU_\varepsilon(\xi)\subset D und alle h∈Rnh\in\R^n mit ξ+h∈Uε(ξ)\xi +h\in U_\varepsilon(\xi) gilt
f(ξ+h)=f(ξ)+f′(ξ)h+12∑j,k=1n∂2f∂xk∂xj(ξ)hjhk+∣∣h∣∣22ρ(h)f(\xi+h)=f(\xi)+f'(\xi)h+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{j,k=1}^n \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_j} (\xi) h_jh_k+||h||_2^2\rho(h)
mit lim⁡h→0ρ(h)=0\lim_{h\rightarrow 0}\rho(h)=0.

Beweis

Nach Folgerung 16KN: f(ξ+h)=f(ξ)+f′(ξ)h+12∑j,k=1n∂2f∂xj∂xk(ξ)hjhk+r(h)f(\xi+h)=f(\xi)+f'(\xi)h+ \dfrac{1}{2} \sum\limits_{j,k=1}^n \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} (\xi) h_jh_k+r(h) mit r(h)=12∑j,k=1n[∂2f∂xk∂xj(ξ+Θh)−∂2f∂xk∂xj(ξ)]hjhkr(h)=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{j,k=1}^n \left[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_j}(\xi+\Theta h)- \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k\partial x_j}(\xi)\right]h_jh_k. Somit ∣r(h)∣≤12(∑j,k=1n∣∂2f∂xk∂xj(ξ+Θh)−∂2f∂xk∂xj∣2) |r(h)| \leq \dfrac{1}{2}\left(\sum\limits_{j,k=1}^n\sqrt{\left| \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_j}(\xi+\Theta h)- \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_j}\right|^2}\right) ⋅∑j,k=1n∣hj∣2∣hk∣2⎵∑j,k=1n∣hj∣2=∣∣h∣∣22 \cdot \underbrace{\sqrt{\sum\limits_{j,k=1}^n |h_j|^2|h_k|^2}}_{\sum\limits_{j,k=1}^n |h_j|^2=||h||_2^2}∑j,k=1n∣hj∣2∣hk∣2=∑k=1n∑j=1n∣hj∣2∣hk∣2 \sum\limits_{j,k=1}^n |h_j|^2|h_k|^2 = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{j=1}^n |h_j|^2|h_k|^2=∑k=1n(∣hk∣2∑j=1n∣hj∣2) = \sum\limits_{k=1}^n \left(|h_k|^2\sum\limits_{j=1}^n |h_j|^2\right)=(∑j=1n∣hj∣2)(∑k=1n∣hk∣2) = \left(\sum\limits_{j=1}^n |h_j|^2\right)\left(\sum\limits_{k=1}^n |h_k|^2\right); ∑∣hj∣2 \sum\limits |h_j|^2 =∣∣h∣∣22=||h||_2^2 ∣r(h)∣∣∣h∣∣22≤12∑j,k=1n∣∂2f∂xk∂xj(ξ+Θh)−∂2f∂xk∂xj(ξ)∣→0\dfrac{|r(h)|}{||h||_2^2}\leq \dfrac{1}{2} \sqrt{\sum\limits_{j,k=1}^n \left|\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_j} (\xi+\Theta h)-\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k\partial x_j}(\xi)\right|}\rightarrow 0 Also ρ(h):={r(h)∣∣h∣∣22h≠00h=0\rho(h):=\begin{cases} \dfrac{r(h)}{||h||_2^2} & h\neq 0\\ 0 & h=0 \end{cases} und ρ→0 \rho \rightarrow 0 □\qed

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Mehrdimensionale Analysis