Satz von Taylor

Satz 16K5 (Taylorscher Satz)

Sei I=[x0,x]I=[x_0,x] für x>x0x>x_0 (bzw. I=[x,x0]I=[x,x_0] für x<x0x<x_0) und f:IRf:I\rightarrow\R sei nn-fach stetig differenzierbar auf II und n+1n+1-mal differenzierbar in I\{x,x0}I\backslash\{x,x_0\} und pNp\in\N. Dann gibt es für alle xIx\in I ein Θ\Theta mit 0<Θ<10<\Theta<1, so dass mit dem Restglied von Schlömilch
Rn(x)=f(n+1)(x0+Θ(xx0))n!p(1Θ)n+1p(xx0)n+1 R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta(x-x_0))}{n!p} (1-\Theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1}
die Taylorsche Formel
f(x)=k=0nf(k)(x0)k!(xx0)+Rn(x)f(x)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)+R_n(x)
gilt.
 
 

Beweis

Setze
F(t):=f(x)k=0nf(k)(t)k!(xt)kF(t):=f(x)-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k G(t):=(xt)p G(t):=(x-t)^p.
Dann ist F(x)=G(x)=0F(x)=G(x)=0 und F(x0)F(x)=Rn(x)F(x_0)-{F(x)} =R_n(x), G(x0)G(x)=(xx0)pG(x_0)-{G(x)}=(x-x_0)^p. F(t)=k=0nf(k+1)(t)k!(xt)kF'(t)=-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k +k=1nf(k)(t)k!k(xt)k1 + \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{f^{(k)}(t)}{k!}k(x-t)^{k-1}=f(n+1)(t)n!(xt)n =-\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^n G(t)=p(xt)p1G'(t)=p(x-t)^{p-1}
Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz existiert ein Θ\Theta: 0<Θ<10<\Theta<1 und F(x0)F(x)G(x0)G(x)=F(x0+Θ(xx0))G(x0+Θ(xx0)) \dfrac{F(x_0)-F(x)}{G(x_0)-G(x)} = \dfrac{F'(x_0+\Theta(x-x_0))}{G'(x_0+\Theta(x-x_0))} Rn(x)(xx0)p \Rightarrow\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^p} =f(n+1)(x0+Θ(xx0))(x(x0+Θ(xx0)))nn!p(x(x0+Θ(xx0)))p1=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta(x-x_0))\cdot(x-(x_0+\Theta(x-x_0)))^n}{n!p(x-(x_0+\Theta(x-x_0)))^{p-1}} =f(n+1)(x+Θ(xx0))n!p(1Θ)n+1p(xx0)n+1p = \dfrac{f^{(n+1)}(x+\Theta(x-x_0))}{n!p}(1-\Theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1-p} Rn(x)=f(n+1)(x+Θ(xx0))n!p(1Θ)n+1p(xx0)n+1p \Rightarrow R_n(x)= \dfrac{f^{(n+1)}(x+\Theta(x-x_0))}{n!p}(1-\Theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1-p} \qed

Spezialfälle des Restglieds

Restglied von Lagrange

Für p=n+1p=n+1 erhält man das Restglied von Lagrange
Rn(x)=f(n+1)(x0+Θ(xx0))(n+1)!(xx0)n+1R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

Restglied von Cauchy

Für p=1p=1 erhält man das Restglied von Cauchy
Rn(x)=f(n+1)(x+Θ(xx0))n!(1Θ)n(xx0)n+1R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x+\Theta(x-x_0))}{n!}(1-\Theta)^n(x-x_0)^{n+1}

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе