Satz von Taylor

Satz 16K5 (Taylorscher Satz)

Sei I=[x0,x]I=[x_0,x] für x>x0x>x_0 (bzw. I=[x,x0]I=[x,x_0] für x<x0x<x_0) und f:I→Rf:I\rightarrow\R sei nn-fach stetig differenzierbar auf II und n+1n+1-mal differenzierbar in I\{x,x0}I\backslash\{x,x_0\} und p∈Np\in\N. Dann gibt es für alle x∈Ix\in I ein Θ\Theta mit 0<Θ<10<\Theta<1, so dass mit dem Restglied von Schlömilch
Rn(x)=f(n+1)(x0+Θ(x−x0))n!p(1−Θ)n+1−p(x−x0)n+1 R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta(x-x_0))}{n!p} (1-\Theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1}
die Taylorsche Formel
f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)+Rn(x)f(x)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)+R_n(x)
gilt.

Beweis

Setze
F(t):=f(x)−∑k=0nf(k)(t)k!(x−t)kF(t):=f(x)-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k G(t):=(x−t)p G(t):=(x-t)^p.
Dann ist F(x)=G(x)=0F(x)=G(x)=0 und F(x0)−F(x)=Rn(x)F(x_0)-{F(x)} =R_n(x), G(x0)−G(x)=(x−x0)pG(x_0)-{G(x)}=(x-x_0)^p. F′(t)=−∑k=0nf(k+1)(t)k!(x−t)kF'(t)=-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k +∑k=1nf(k)(t)k!k(x−t)k−1 + \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{f^{(k)}(t)}{k!}k(x-t)^{k-1}=−f(n+1)(t)n!(x−t)n =-\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^n G′(t)=p(x−t)p−1G'(t)=p(x-t)^{p-1}
Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz existiert ein Θ\Theta: 0<Θ<10<\Theta<1 und F(x0)−F(x)G(x0)−G(x)=F′(x0+Θ(x−x0))G′(x0+Θ(x−x0)) \dfrac{F(x_0)-F(x)}{G(x_0)-G(x)} = \dfrac{F'(x_0+\Theta(x-x_0))}{G'(x_0+\Theta(x-x_0))} ⇒Rn(x)(x−x0)p \Rightarrow\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^p} =f(n+1)(x0+Θ(x−x0))⋅(x−(x0+Θ(x−x0)))nn!p(x−(x0+Θ(x−x0)))p−1=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta(x-x_0))\cdot(x-(x_0+\Theta(x-x_0)))^n}{n!p(x-(x_0+\Theta(x-x_0)))^{p-1}} =f(n+1)(x+Θ(x−x0))n!p(1−Θ)n+1−p(x−x0)n+1−p = \dfrac{f^{(n+1)}(x+\Theta(x-x_0))}{n!p}(1-\Theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1-p} ⇒Rn(x)=f(n+1)(x+Θ(x−x0))n!p(1−Θ)n+1−p(x−x0)n+1−p \Rightarrow R_n(x)= \dfrac{f^{(n+1)}(x+\Theta(x-x_0))}{n!p}(1-\Theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1-p} □\qed

Spezialfälle des Restglieds

Restglied von Lagrange

Für p=n+1p=n+1 erhält man das Restglied von Lagrange
Rn(x)=f(n+1)(x0+Θ(x−x0))(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

Restglied von Cauchy

Für p=1p=1 erhält man das Restglied von Cauchy
Rn(x)=f(n+1)(x+Θ(x−x0))n!(1−Θ)n(x−x0)n+1R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x+\Theta(x-x_0))}{n!}(1-\Theta)^n(x-x_0)^{n+1}
 
 

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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