Zusammenfassung der Differentiationsregeln
Differentiationsregeln
Linearität
( f + g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) (f+g)'(x)=f\, '(x)+g'(x) ( f + g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) und
( c f ) ′ ( x ) = c ⋅ f ′ ( x ) (cf)'(x)=c\cdot f\, '(x) ( c f ) ′ ( x ) = c ⋅ f ′ ( x ) Produktregel
( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) (fg)'(x)=f\, '(x)g(x)+f(x)g'(x) ( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) Quotientenregel
( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 {\braceNT {\, \dfrac f g\, }}' (x)=\dfrac {f\, '(x) g(x) - f(x)g'(x)} {(g(x))^2} ( g f ) ′ ( x ) = ( g ( x ) ) 2 f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) Kettenregel
( f ∘ g ) ′ ( x ) = f ′ [ g ( x ) ] ⋅ g ′ ( x ) (f\circ g)'(x)=f\, '[g(x)]\cdot g'(x) ( f ∘ g ) ′ ( x ) = f ′ [ g ( x ) ] ⋅ g ′ ( x ) Ableitungen spezieller Funktionen
Rationale Funktionen
Funktion f ( x ) f(x) f ( x ) Ableitung f ′ ( x ) f\, '(x) f ′ ( x ) c c c c ∈ R c\in \dom R c ∈ R 0 0 0
x x x 1 1 1
x n x^n x n n ∈ Z n\in \dom Z n ∈ Z n ≠ 0 n\neq 0 n = / 0 n ⋅ x n − 1 n\cdot x^{n-1} n ⋅ x n − 1
x 2 x^2 x 2 2 x 2x 2 x
1 x \dfrac 1 x x 1 − 1 x 2 -\dfrac 1 {x^2} − x 2 1
x \sqrt x x 1 2 x \dfrac 1 {2\sqrt x} 2 x 1
Winkelfunktionen und Umkehrungen
Funktion f ( x ) f(x) f ( x ) Ableitung f ′ ( x ) f\, '(x) f ′ ( x ) siehe
sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x Satz 5317E
cos x \cos x cos x − sin x \uminus\sin x − sin x Satz 5317E
tan x \tan x tan x 1 cos 2 x \dfrac 1 {\cos^2 x} cos 2 x 1 Satz 5317E
cot x \cot x cot x − 1 sin 2 x -\dfrac 1 {\sin^2 x} − sin 2 x 1 Satz 5317E
arcsin x \arcsin x arcsin x 1 1 − x 2 \dfrac 1 {\sqrt {1-x^2} } 1 − x 2 1 Satz 5318A
arccos x \arccos x arccos x − 1 1 − x 2 -\dfrac 1 {\sqrt {1-x^2} } − 1 − x 2 1 Satz 5318A
arctan x \arctan x arctan x 1 1 + x 2 \dfrac 1 {1+x^2} 1 + x 2 1 Satz 5318A
arccot x \arccot x a r c c o t x − 1 1 + x 2 -\dfrac 1 {1+x^2} − 1 + x 2 1 Satz 5318A
Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen
Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.
Albert Einstein
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