Zusammenfassung der Differentiationsregeln

Differentiationsregeln

Linearität

\(\displaystyle (f+g)'(x)=f\, '(x)+g'(x)\)
und
\(\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f\, '(x)\)

Produktregel

\(\displaystyle (fg)'(x)=f\, '(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

Quotientenregel

\(\displaystyle {\braceNT {\, \dfrac f g\, }}' (x)=\dfrac {f\, '(x) g(x) - f(x)g'(x)} {(g(x))^2}\)

Kettenregel

\(\displaystyle (f\circ g)'(x)=f\, '[g(x)]\cdot g'(x)\)

Ableitungen spezieller Funktionen

 
 

Rationale Funktionen

Funktion \(\displaystyle f(x)\) Ableitung \(\displaystyle f\, '(x)\)
\(\displaystyle c\) (\(\displaystyle c\in \dom R\)) \(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle x\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle x^n\), \(\displaystyle n\in \dom Z\), \(\displaystyle n\neq 0\) \(\displaystyle n\cdot x^{n-1}\)
\(\displaystyle x^2\) \(\displaystyle 2x\)
\(\displaystyle \dfrac 1 x\) \(\displaystyle -\dfrac 1 {x^2}\)
\(\displaystyle \sqrt x\) \(\displaystyle \dfrac 1 {2\sqrt x}\)

Winkelfunktionen und Umkehrungen

Funktion \(\displaystyle f(x)\) Ableitung \(\displaystyle f\, '(x)\) siehe
\(\displaystyle \sin x\) \(\displaystyle \cos x\) Satz 5317E
\(\displaystyle \cos x\) \(\displaystyle \uminus\sin x\) Satz 5317E
\(\displaystyle \tan x\) \(\displaystyle \dfrac 1 {\cos^2 x}\) Satz 5317E
\(\displaystyle \cot x\) \(\displaystyle -\dfrac 1 {\sin^2 x}\) Satz 5317E
\(\displaystyle \arcsin x\) \(\displaystyle \dfrac 1 {\sqrt {1-x^2} }\) Satz 5318A
\(\displaystyle \arccos x\) \(\displaystyle -\dfrac 1 {\sqrt {1-x^2} }\) Satz 5318A
\(\displaystyle \arctan x\) \(\displaystyle \dfrac 1 {1+x^2}\) Satz 5318A
\(\displaystyle \arccot x\) \(\displaystyle -\dfrac 1 {1+x^2}\) Satz 5318A

Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen

Funktion \(\displaystyle f(x)\) Ableitung \(\displaystyle f\, '(x)\) siehe
\(\displaystyle \e ^x\) \(\displaystyle \e ^x\) Satz 5318D
\(\displaystyle a^x\) \(\displaystyle a^x\ln a\) Satz 5318D
\(\displaystyle \ln x\) \(\displaystyle \dfrac 1 x\) Satz 5318D
\(\displaystyle \log_a x\) \(\displaystyle \dfrac 1 {x\, \ln a}\) Satz 5318D

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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