Taylorreihe der Logarithmusfunktion
Satz 16K6
Gegeben sei die
Logarithmusfunktion f ( x ) = ln ( 1 + x ) f(x)=\ln(1+x) f ( x ) = ln ( 1 + x ) mit dem Entwicklungspunkt
x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 . Es gilt
ln ( 1 + x ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 k x k + R n ( x ) \ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+R_n(x) ln ( 1 + x ) = k = 1 ∑ n k ( − 1 ) k − 1 x k + R n ( x ) (1)
wobei
R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 1 x n + 1 n + 1 R_n(x)=(-1)^n\Theta_1\dfrac{x^{n+1}}{n+1} R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 1 n + 1 x n + 1 0 < Θ 1 < 1 0<\Theta_1<1 0 < Θ 1 < 1 0 ≤ x ≤ 1 0\leq x\leq 1 0 ≤ x ≤ 1 R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 2 x n + 1 1 + x R_n(x)=(-1)^n\Theta_2\dfrac{x^{n+1}}{1+x} R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 2 1 + x x n + 1 0 < Θ 2 < 1 0<\Theta_2<1 0 < Θ 2 < 1 − 1 < x < 0 -1<x<0 − 1 < x < 0 (
Θ 1 , Θ 2 \Theta_1, \Theta_2 Θ 1 , Θ 2 hängen von
n n n und
x x x ab.) Die
Taylorreihe ln ( 1 + x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k x k \ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k ln ( 1 + x ) = k = 1 ∑ ∞ k ( − 1 ) k − 1 x k − 1 < x ≤ 1 -1<x\leq 1 − 1 < x ≤ 1
ist für
− 1 < x < 1 -1<x<1 − 1 < x < 1 absolut konvergent und für
∣ x ∣ > 1 |x|>1 ∣ x ∣ > 1 divergent .
Beweis
f ( x ) = ln ( 1 + x ) f(x)=\ln(1+x) f ( x ) = ln ( 1 + x ) ;
f ′ ( x ) = 1 1 + x f\, '(x)=\dfrac{1}{1+x} f ′ ( x ) = 1 + x 1 ;
f ′ ′ ( x ) = − 1 ( 1 + x ) 2 f\, ''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2} f ′ ′ ( x ) = − ( 1 + x ) 2 1 ;
f ′ ′ ′ ( x ) = 2 ( 1 + x ) 3 f'''(x)=\dfrac{2}{(1+x)^3} f ′ ′ ′ ( x ) = ( 1 + x ) 3 2 ; Allgemein:
f ( n ) ( x ) = ( n − 1 ) ! ( − 1 ) n − 1 1 ( 1 + x ) n f^{(n)}(x)=(n-1)!(-1)^{n-1}\dfrac{1}{(1+x)^n} f ( n ) ( x ) = ( n − 1 ) ! ( − 1 ) n − 1 ( 1 + x ) n 1 Einsetzen in
Taylorformel :
ln ( 1 + x ) = f ( x ) \ln(1+x)= f(x) ln ( 1 + x ) = f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! + R n =\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}+R_n = k = 0 ∑ n k ! f ( k ) ( 0 ) + R n = ∑ k = 1 n ( k − 1 ) ! ( − 1 ) k − 1 1 k ! x k + R n ( x ) = \sum\limits_{k=1}^n (k-1)!(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k!}x^k+R_n(x) = k = 1 ∑ n ( k − 1 ) ! ( − 1 ) k − 1 k ! 1 x k + R n ( x ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 x k k + R n ( x ) = \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k}+R_n(x) = k = 1 ∑ n ( − 1 ) k − 1 k x k + R n ( x ) Untersuchung der Restglieder:
1. Fall
0 ≤ x ≤ 1 0\leq x\leq 1 0 ≤ x ≤ 1 :
Restglied von Lagrange :
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( Θ x ) ( n + 1 ) ! x n + 1 R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\Theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} R n ( x ) = ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( Θ x ) x n + 1 = ( − 1 ) n 1 ( 1 + Θ x ) n + 1 x n + 1 n + 1 =(-1)^n {\dfrac{1}{(1+\Theta x)^{n+1}}}\, \dfrac{x^{n+1}}{n+1} = ( − 1 ) n ( 1 + Θ x ) n + 1 1 n + 1 x n + 1 mit
0 < Θ ≤ 1 0<\Theta\leq 1 0 < Θ ≤ 1 . Wir setzen
Θ 1 : = 1 ( 1 + Θ x ) n + 1 \Theta_1:=\dfrac{1}{(1+\Theta x)^{n+1}} Θ 1 : = ( 1 + Θ x ) n + 1 1 und es gilt
0 < Θ 1 < 1 0<\Theta_1<1 0 < Θ 1 < 1 , denn
1 + Θ x ≥ 1 1+\Theta x\geq 1 1 + Θ x ≥ 1 . Daher folgt,
1 1 + Θ x ≤ 1 \dfrac{1}{1+\Theta x}\leq 1 1 + Θ x 1 ≤ 1 . Somit ist
R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 1 x n + 1 n + 1 R_n(x)=(-1)^n\Theta_1\dfrac{x^{n+1}}{n+1} R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 1 n + 1 x n + 1 für alle
0 ≤ x ≤ 1 0\leq x\leq 1 0 ≤ x ≤ 1 und es folgt
∣ R n ( x ) ∣ ≤ ∣ x ∣ n + 1 n + 1 ⟶ n → ∞ 0 |R_n(x)|\leq\dfrac{|x|^{n+1}}{n+1}\, \, \stackrel{n\rightarrow\infty}\longrightarrow 0 ∣ R n ( x ) ∣ ≤ n + 1 ∣ x ∣ n + 1 ⟶ n → ∞ 0 ⇒ lim n → ∞ R n ( x ) = 0 \Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0 ⇒ lim n → ∞ R n ( x ) = 0 für
0 ≤ x ≤ 1 0\leq x \leq 1 0 ≤ x ≤ 1 .
2. Fall
− 1 < x ≤ 0 -1<x\leq 0 − 1 < x ≤ 0 :
Cauchysches Restglied :
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( Θ x ) n ! ( 1 − Θ ) n x n + 1 R_n(x)= \dfrac{f^{(n+1)}(\Theta x)}{n!}(1-\Theta)^nx^n+1 R n ( x ) = n ! f ( n + 1 ) ( Θ x ) ( 1 − Θ ) n x n + 1 für
0 < Θ < 1 0<\Theta <1 0 < Θ < 1 R n ( x ) = ( − 1 ) n 1 ( 1 + Θ x ) n + 1 ( 1 − Θ ) n x n + 1 R_n(x) = (-1)^n\dfrac{1}{(1+\Theta x)^{n+1}}(1-\Theta)^nx^{n+1} R n ( x ) = ( − 1 ) n ( 1 + Θ x ) n + 1 1 ( 1 − Θ ) n x n + 1 = ( − 1 ) n ( 1 − Θ 1 + Θ x ) n 1 + x 1 + Θ x x n + 1 1 + x = (-1)^n{\left( \dfrac{1-\Theta}{1+\Theta x} \right)^n \dfrac{1+x}{1+\Theta x}}\, \dfrac{x^{n+1}}{1+x} = ( − 1 ) n ( 1 + Θ x 1 − Θ ) n 1 + Θ x 1 + x 1 + x x n + 1 Wir setzen
Θ 2 : = ( 1 − Θ 1 + Θ x ) n 1 + x 1 + Θ x \Theta_2:= \left( \dfrac{1-\Theta}{1+\Theta x} \right)^n \dfrac{1+x}{1+\Theta x} Θ 2 : = ( 1 + Θ x 1 − Θ ) n 1 + Θ x 1 + x Es gilt
0 < Θ 2 < 1 0<\Theta_2<1 0 < Θ 2 < 1 , da
0 < 1 − Θ < 1 + Θ x 0<1-\Theta<1+\Theta x 0 < 1 − Θ < 1 + Θ x und
0 < 1 + x < 1 + Θ x 0<1+x<1+\Theta x 0 < 1 + x < 1 + Θ x . Somit ist:
R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 2 x n + 1 1 + x R_n(x)= (-1)^n\Theta_2\dfrac{x^{n+1}}{1+x} R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 2 1 + x x n + 1 ⇒ ∣ R n ( x ) ∣ ≤ ∣ x ∣ n + 1 1 + x ⟶ n → ∞ 0 \Rightarrow |R_n(x)|\leq\dfrac{|x|^{n+1}}{1+x}\, \stackrel{n\rightarrow\infty}\longrightarrow 0 ⇒ ∣ R n ( x ) ∣ ≤ 1 + x ∣ x ∣ n + 1 ⟶ n → ∞ 0 ⇒ lim n → ∞ R n ( x ) = 0 \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0 ⇒ lim n → ∞ R n ( x ) = 0 für
− 1 < x ≤ 0 -1<x\leq 0 − 1 < x ≤ 0 Beide Fälle liefern die Konvergenz der
Taylorreihe .
□ \qed □ Folgerung 16K7
Für
1 ≤ y < ∞ 1\leq y<\infty 1 ≤ y < ∞ gilt:
ln y = 2 ∑ k = 1 n 1 ( 2 k − 1 ) ( y − 1 y + 1 ) 2 k − 1 + R n ~ ( y ) \ln y = 2\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)}\left( \dfrac{y-1}{y+1} \right)^{2k-1} +\widetilde{R_n}(y) ln y = 2 k = 1 ∑ n ( 2 k − 1 ) 1 ( y + 1 y − 1 ) 2 k − 1 + R n ( y ) R n ~ ( y ) = ( Θ 1 2 n + 1 + Θ 2 2 ( y + 1 ) ) ( y − 1 y + 1 ) 2 n + 1 \widetilde{R_n}(y) = \left( \dfrac{\Theta_1}{2n+1}+\dfrac{\Theta_2}{2}(y+1) \right) \left( \dfrac{y-1}{y+1} \right)^{2n+1} R n ( y ) = ( 2 n + 1 Θ 1 + 2 Θ 2 ( y + 1 ) ) ( y + 1 y − 1 ) 2 n + 1 0 < Θ 1 , Θ 2 < 1 0<\Theta_1,\Theta_2<1 0 < Θ 1 , Θ 2 < 1 Beweis
Sei
1 ≤ y < ∞ 1\leq y <\infty 1 ≤ y < ∞ und
x : = y − 1 y + 1 x:=\dfrac{y-1}{y+1} x : = y + 1 y − 1 . Es gilt
0 ≤ x < 1 0\leq x<1 0 ≤ x < 1 und
y = 1 + x 1 − x y=\dfrac{1+x}{1-x} y = 1 − x 1 + x .
ln ( 1 + x ) = ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k − 1 k x k + R 2 n ( x ) \ln(1+x) = \sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+R_{2n}(x) ln ( 1 + x ) = k = 1 ∑ 2 n k ( − 1 ) k − 1 x k + R 2 n ( x ) ln ( 1 − x ) = ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k − 1 k ( − x ) k + R 2 n ( − x ) \ln(1-x) = \sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}(-x)^k+R_{2n}(-x) ln ( 1 − x ) = k = 1 ∑ 2 n k ( − 1 ) k − 1 ( − x ) k + R 2 n ( − x ) ln ( 1 + x 1 − x ) = ln ( 1 + x ) − ln ( 1 − x ) \ln\left( \dfrac{1+x}{1-x} \right) = \ln(1+x)-\ln(1-x) ln ( 1 − x 1 + x ) = ln ( 1 + x ) − ln ( 1 − x ) = ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k − 1 k x k + R 2 n ( x ) − ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k − 1 k ( − x ) k + R 2 n ( − x ) =\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+R_{2n}(x)- \sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}(-x)^k+R_{2n}(-x) = k = 1 ∑ 2 n k ( − 1 ) k − 1 x k + R 2 n ( x ) − k = 1 ∑ 2 n k ( − 1 ) k − 1 ( − x ) k + R 2 n ( − x ) = ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k − 1 − ( − 1 ) k x k + ( R 2 n ( x ) − R 2 n ( − x ) ) = \sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k-1}-(-1)}{k}x^k+{(R_{2n}(x)-R_{2n}(-x))} = k = 1 ∑ 2 n k ( − 1 ) k − 1 − ( − 1 ) x k + ( R 2 n ( x ) − R 2 n ( − x ) ) = 2 ∑ k = 1 n x 2 k − 1 2 k − 1 + R n ~ ( x ) = 2\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{x^{2k-1}}{2k-1}+\widetilde{R_n}(x) = 2 k = 1 ∑ n 2 k − 1 x 2 k − 1 + R n ( x ) mit
R n ~ : = ( R 2 n ( x ) − R 2 n ( − x ) ) \widetilde{R_n}:=(R_{2n}(x)-R_{2n}(-x)) R n : = ( R 2 n ( x ) − R 2 n ( − x ) ) R 2 n ( x ) = ( − 1 ) 2 n Θ 1 x 2 n + 1 2 n + 1 R_{2n}(x)= (-1)^{2n}\Theta_1\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} R 2 n ( x ) = ( − 1 ) 2 n Θ 1 2 n + 1 x 2 n + 1 R 2 n ( − x ) = ( − 1 ) 2 n Θ 2 ( − x ) 2 n + 1 1 − x R_{2n}(-x)= (-1)^{2n}\Theta_2\dfrac{(-x)^{2n+1}}{1-x} R 2 n ( − x ) = ( − 1 ) 2 n Θ 2 1 − x ( − x ) 2 n + 1 R n ~ ( x ) = ( Θ 1 2 n + 1 + Θ 2 1 − x ) x 2 n + 1 \widetilde{R_n}(x)= \left( \dfrac{\Theta_1}{2n+1}+\dfrac{\Theta_2}{1-x} \right) x^{2n+1} R n ( x ) = ( 2 n + 1 Θ 1 + 1 − x Θ 2 ) x 2 n + 1 Damit ist:
ln ( y ) = 2 ∑ k = 1 n 1 2 k − 1 ( y − 1 y + 1 ) 2 k − 1 + R n ~ ( y ) {\ln(y)=2\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2k-1}\left( \dfrac{y-1}{y+1} \right)^{2k-1} +\widetilde{R_n}(y)} ln ( y ) = 2 k = 1 ∑ n 2 k − 1 1 ( y + 1 y − 1 ) 2 k − 1 + R n ( y )
mit
R n ~ = ( Θ 1 2 n + 1 + Θ 2 2 ( y + 1 ) ) ( y − 1 y + 1 ) 2 n + 1 {\widetilde{R_n}=\left( \dfrac{\Theta_1}{2n+1}+\dfrac{\Theta_2}{2} (y+1)\right)\left( \dfrac{y-1}{y+1} \right)^{2n+1}} R n = ( 2 n + 1 Θ 1 + 2 Θ 2 ( y + 1 ) ) ( y + 1 y − 1 ) 2 n + 1
□ \qed □ Spezialfälle
Für
1 ≤ y < ∞ 1\leq y<\infty 1 ≤ y < ∞ gilt:
ln y = 2 ∑ k = 1 n 1 2 k − 1 ( y − 1 y + 1 ) 2 k − 1 + R n ~ ( y ) \ln y=2\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{2k-1}\left(\dfrac{y-1}{y+1}\right)^{2k-1} +\widetilde{R_n}(y) ln y = 2 k = 1 ∑ n 2 k − 1 1 ( y + 1 y − 1 ) 2 k − 1 + R n ( y ) (2) R n ~ ( y ) = ( Θ 1 2 n + 1 + Θ 2 2 ( y + 1 ) ) ( y − 1 y + 1 ) 2 n + 1 \widetilde{R_n}(y)=\left(\dfrac{\Theta_1}{2n+1}+\dfrac{\Theta_2}{2}(y+1)\right) \left(\dfrac{y-1}{y+1}\right)^{2n+1} R n ( y ) = ( 2 n + 1 Θ 1 + 2 Θ 2 ( y + 1 ) ) ( y + 1 y − 1 ) 2 n + 1 0 < Θ 1 , Θ 2 < 1 0<\Theta_1,\Theta_2<1 0 < Θ 1 , Θ 2 < 1
Für
0 < y ≤ 1 0<y\leq 1 0 < y ≤ 1 nutzt man
ln y = − ln ( 1 y ) \ln y=-\ln\left(\dfrac{1}{y}\right) ln y = − ln ( y 1 ) . Insbesondere
∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k = ln 2 = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 k + R n ( 1 ) \sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln 2=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}+R_n(1) k = 1 ∑ ∞ k ( − 1 ) k − 1 = ln 2 = k = 1 ∑ n k ( − 1 ) k − 1 + R n ( 1 )
∣ R n ( 1 ) ∣ = ∣ ( − 1 ) n ∣ ∣ Θ 1 ∣ 1 n + 1 |R_n(1)|=|(-1)^n||\Theta_1|\dfrac{1}{n+1} ∣ R n ( 1 ) ∣ = ∣ ( − 1 ) n ∣ ∣ Θ 1 ∣ n + 1 1 ≤ 1 n + 1 ⟶ n → ∞ 0 \leq\dfrac{1}{n+1} \stackrel{n\rightarrow\infty}\longrightarrow0 ≤ n + 1 1 ⟶ n → ∞ 0 Genauigkeit auf sechs Stellen erhält man mit Sicherheit für
n ≥ 1 0 6 n\geq 10^6 n ≥ 1 0 6 (schlechte Konvergenz), da
∣ R n ( 1 ) ∣ ≤ 1 n + 1 ≤ 1 n ≤ 1 0 − 6 ⇒ n ≥ 1 0 6 |R_n(1)|\leq \dfrac{1}{n+1}\leq \dfrac{1}{n}\leq 10^{-6} \Rightarrow n\geq 10^6 ∣ R n ( 1 ) ∣ ≤ n + 1 1 ≤ n 1 ≤ 1 0 − 6 ⇒ n ≥ 1 0 6 . Setzt man
y = 2 y=2 y = 2 in Gleichung
(2) ein, erhält man
ln 2 = 2 ∑ k = 1 n 1 2 k − 1 ( 1 3 ) 2 k − 1 + R n ~ ( 2 ) \ln 2=2\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{2k-1}\left( \dfrac{1}{3} \right)^{2k-1}+\widetilde{R_n}(2) ln 2 = 2 k = 1 ∑ n 2 k − 1 1 ( 3 1 ) 2 k − 1 + R n ( 2 ) und
∣ R n ~ ( 2 ) ∣ = ∣ Θ 1 2 n + 1 + 3 2 Θ 2 ∣ ( 3 2 ) 2 n + 1 |\widetilde{R_n}(2)|=\left|\dfrac{\Theta_1}{2n+1}+\dfrac{3}{2}\Theta_2\right| \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2n+1} ∣ R n ( 2 ) ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 2 n + 1 Θ 1 + 2 3 Θ 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ( 2 3 ) 2 n + 1 ≤ ( 1 2 n + 1 + 3 2 ) ( 1 3 ) 2 n + 1 \leq\left( \dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{3}{2} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2n+1} ≤ ( 2 n + 1 1 + 2 3 ) ( 3 1 ) 2 n + 1
n = 6 n=6 n = 6 ∣ R 6 ~ ( 2 ) ∣ ≤ ( 1 13 + 3 2 ) ( 1 3 ) 13 < 1 0 − 6 |\widetilde{R_6}(2)|\leq \left( \dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{2} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right)^{13}<10^{-6} ∣ R 6 ( 2 ) ∣ ≤ ( 1 3 1 + 2 3 ) ( 3 1 ) 1 3 < 1 0 − 6 n = 10 n=10 n = 1 0 ∣ R 10 ~ ( 2 ) ∣ ≤ ( 1 21 + 3 2 ) ( 1 3 ) 21 < 1 , 5 ⋅ 1 0 − 10 |\widetilde{R_{10}}(2)|\leq \left( \dfrac{1}{21}+\dfrac{3}{2} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right)^{21}<1,5\cdot 10^{-10} ∣ R 1 0 ( 2 ) ∣ ≤ ( 2 1 1 + 2 3 ) ( 3 1 ) 2 1 < 1 , 5 ⋅ 1 0 − 1 0
Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.
Paul Erdös
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