Lineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme

Eine lineare Differentialgleichung hat die Form
y(n)+an−1(x)y(n−1)+…y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y=b(x) +a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x)
Ein lineares Differentialgleichungssystem hat die Form z1′=a11z1+a12z2+⋯+a1nzn=b1z_1'=a_{11}z_1+a_{12}z_2+\dots+ a_{1n}z_n=b_1 z2′=a21z1+a22z2+⋯+a2nzn=b2z_2'=a_{21}z_1+a_{22}z_2+\dots+ a_{2n}z_n=b_2 …\dots zn′=an1z1+an2z2+⋯+annzn=bnz_n'=a_{n1}z_1+a_{n2}z_2+\dots+ a_{nn}z_n=b_n
Dabei sind die aij(x)a_{ij}(x) im allgemeinen Fall beliebige Funktionen von xx.
Durch Ordnungsreduktion kann eine lineare Differentialgleichung auf ein lineares System reduziert werden. Kennt man also die Lösungsstruktur des Systems, ergibt sich automatisch die Lösung der linearen DGL.
Verschwinden die rechten Seiten, so spricht man von einer homogenen linearen Differentialgleichung (bzw. einem System) andernfalls heißt die Gleichung/ das System inhomogen.

Beispiel

Überführung der DGL zweiter Ordnung in ein Differentialgleichungssystem.
y′′+xy′+x2y=sin⁡xy''+xy'+x^2y=\sin x Substitution: z1=yz_1=y; y′=z1′=z2y'=z_1'=z_2; y′′=z2′y''=z_2' z1′=z2z_1'=z_2 z2′+xz2+x2z1=sin⁡xz_2'+xz_2+x^2z_1=\sin x
Da die Ausgangsgleichung linear war, handelt es sich um ein lineares System.
 
 

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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