Partielle Differentialgleichungen

Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDG oder PDGL, beziehungsweise PDE für engl. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält. Solche Gleichungen dienen der mathematischen Modellierung vieler physikalischer Vorgänge. Die Lösungstheorie von partiellen Differentialgleichungen ist für lineare Gleichungen weitgehend erforscht, bei nichtlinearen Gleichungen enthält die mathematische Theorie noch viele Lücken. Zur praktischen Berechnung von Lösungen werden in der Regel numerische Verfahren herangezogen.
 
 

Definition

Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung (oder ein Gleichungssystem) für eine oder mehrere unbekannte Funktionen, die folgende Kriterien erfüllt:
Die implizite Form einer partiellen Differentialgleichung für eine Funktion \(\displaystyle u\), die von zwei Variablen \(\displaystyle x\) und \(\displaystyle y\) abhängt, lautet
\(\displaystyle F\left(x,y,u(x,y),\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x},\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial y}, \ldots,\dfrac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x \partial y},\ldots \right) = 0, \)
wobei \(\displaystyle F\) eine beliebige Funktion ist. Im mehrdimensionalen Fall schreibt man auch
\(\displaystyle F\left(x,u(x),\operatorname{D} u,\operatorname{D}^2 u, \ldots \operatorname{D}^k u,\ldots \right) = 0 \)
mit den partiellen Ableitungen \(\displaystyle D^k u\) vom Grad \(\displaystyle k\).
Gleichungen, in denen neben partiellen Ableitungen auch Integrale auftreten, nennt man Integro-Differentialgleichungen.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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