Allgemeiner Fall linearer Differentialgleichungen

Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist ein wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen und umfasst viele Standardmethoden zur Lösung solcher.
Eine lineare Differentialgleichung ist linear in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Die allgemeine Form für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung nn-ter Ordnung ist:
∑i=0npi(x)y(i)(x)=q(x)\sum\limits_{i=0}^n p_i(x) y^{(i)}(x) = q(x)
Hierbei sind pi(x)p_i(x) und q(x)q(x) bekannte Funktionen, y(x)y(x) wird gesucht, y(i)(x)y^{(i)}(x) ist die ii-te Ableitung von yy nach xx.
Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit variablen oder konstanten (von xx unabhängigen) Koeffizienten pi(x)p_i(x) bzw. cic_i und hat in jedem dieser beiden Fälle homogene (mit q=0q = 0) und inhomogene (mit q≠0q \ne 0) Problemstellungen.

Bemerkung (Matrixschreibweise)

Aufgrund ihre Linearität bietet sich mittels der Ordnungsreduktion eine Matrixschreibweise y′=Fy+q\bm{y'} = F \bm y + \bm q bzw. im homogenen Fall y′=Fy\bm{y'} = F \bm y an.
Dabei ist:
F=−1pn(0−pn⋯0⋮⋱⋱⋮0⋯0−pnp0⋯⋯pn−1)F = -{\dfrac 1 { p_n}} \pmatrix { 0 & {-p_n} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & {-p_n} \\ {p_0} & \cdots & \cdots & {p_{n-1} } }, y=(y⋮⋮y(n−1))\bm y=\pmatrix { y\\ \vdots\\ \vdots \\ y^{(n-1)} } und q=1pn(0⋮⋮q)\bm q = \dfrac 1 {p_n} \pmatrix { 0\\ \vdots\\ \vdots\\ q}
 
 

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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