Allgemeiner Fall linearer Differentialgleichungen

Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist ein wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen und umfasst viele Standardmethoden zur Lösung solcher.
Eine lineare Differentialgleichung ist linear in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Die allgemeine Form für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung nn-ter Ordnung ist:
i=0npi(x)y(i)(x)=q(x)\sum\limits_{i=0}^n p_i(x) y^{(i)}(x) = q(x)
Hierbei sind pi(x)p_i(x) und q(x)q(x) bekannte Funktionen, y(x)y(x) wird gesucht, y(i)(x)y^{(i)}(x) ist die ii-te Ableitung von yy nach xx.
Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit variablen oder konstanten (von xx unabhängigen) Koeffizienten pi(x)p_i(x) bzw. cic_i und hat in jedem dieser beiden Fälle homogene (mit q=0q = 0) und inhomogene (mit q0q \ne 0) Problemstellungen.
 
 

Bemerkung (Matrixschreibweise)

Aufgrund ihre Linearität bietet sich mittels der Ordnungsreduktion eine Matrixschreibweise y=Fy+q\bm{y'} = F \bm y + \bm q bzw. im homogenen Fall y=Fy\bm{y'} = F \bm y an.
Dabei ist:
F=1pn(0pn000pnp0pn1)F = -{\dfrac 1 { p_n}} \pmatrix { 0 & {-p_n} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & {-p_n} \\ {p_0} & \cdots & \cdots & {p_{n-1} } }, y=(yy(n1))\bm y=\pmatrix { y\\ \vdots\\ \vdots \\ y^{(n-1)} } und q=1pn(0q)\bm q = \dfrac 1 {p_n} \pmatrix { 0\\ \vdots\\ \vdots\\ q}

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Gewöhnliche Differentialgleichung aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе