Lineare homogene Differentialgleichungen

Für Lösungen $y$ homogener linearer Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip, was heißt, dass eine Linearkombination mehrerer Lösungen wieder eine Lösung ist. Die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung $n$-ter Ordnung besitzt auf einem Intervall $I$ genau $n$ linear unabhängige Lösungen. Diese Lösungen bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung.

Grundsätzlich gibt es kein allgemeines Verfahren zur Bestimmung des Fundamentalsystems. Zum Auffinden der Lösungen ist es notwendig, spezielle Lösungsverfahren zu verwenden. Diese können die Differentialgleichung durch das Reduktionsverfahren von D'Alembert auf eine solche niedrigerer Ordnung zurückführen.

Jedoch können allgemeine Aussagen über die Struktur des Lösungsraumes einer linearen homogenen Differentialgleichunge $n$-ter Ordnung gemacht werden. Das Fundamentalsystem umfasst genau dann alle Lösungen, wenn die Variationen von $x$ des zugehörigen Anfangswertproblems (AWP) das ganze Intervall $I$ abdecken.

Durch Einsetzen der Linearkombination der Lösungen in das AWP kann ein Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen in $n$ Unbekannten gebildet werden. Eine Matrix, welche die $n$ Lösungen als Spalten und deren $n$-1 Ableitungen als Zeilen enthält heißt Wronski-Matrix. Bekanntlich gilt nach einem Satz aus der linearen Algebra, dass die Lösbarkeit des Gleichungssystems genau dann gewährleistet ist, wenn die Determinante der Matrix (Wronski-Determinante) einen Wert ungleich 0 hat. Die Matrix heißt dann eine Fundamentalmatrix der DGL.

Wronski-Determinante und Wronski-Matrix:

für $i=1, \dots n$ und $j=1, \dots n-1$.