Anfangswertprobleme

Die Lösungsmenge einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist im allgemeinen eine Funktionenschar. Sucht man eine spezielle Lösung (Funktion) so reicht die Vorgabe der Differentialgleichung nicht aus.
Sind neben der Differentialgleichung F(x,y,y,,y(n)F(x,y,y',\dots,y^{(n)} außerdem noch Anfangsbedingungen der Form
y(x0)=c0y(x_0)=c_0, y(x0)=c1y'(x_0)=c_1, ,y(n)(x0)=cn\dots,y^{(n)}(x_0)=c_n
gegeben, so spricht man von einem Anfangswertproblem.
Es kann gelöst werden, indem zuerst die allgemeine Differentialgleichung gelöst wird, deren Lösung im Allgemeinen von nn Parametern abhängt. Man benutzt nun die nn Anfangsbedingungen, um ein Gleichungssystem mit nn Gleichungen zu erhalten, aus dem die Parameter bestimmt werden.
 
 

Beispiel

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung y=yy'=y ist y=Cexy=C\e^x. Mit der Anfangsbedingung y(0)=2y(0)=2 erhalten wir die Gleichung 2=C12=C\cdot 1 und finden y=2exy=2\cdot \e^x als Lösung des Anfangswertproblems.

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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