Anfangswertprobleme

Die Lösungsmenge einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist im allgemeinen eine Funktionenschar. Sucht man eine spezielle Lösung (Funktion) so reicht die Vorgabe der Differentialgleichung nicht aus.

Sind neben der Differentialgleichung $F(x,y,y',\dots,y^{(n)}$ außerdem noch Anfangsbedingungen der Form

gegeben, so spricht man von einem Anfangswertproblem.

Es kann gelöst werden, indem zuerst die allgemeine Differentialgleichung gelöst wird, deren Lösung im Allgemeinen von $n$ Parametern abhängt. Man benutzt nun die $n$ Anfangsbedingungen, um ein Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen zu erhalten, aus dem die Parameter bestimmt werden.

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung $y'=y$ ist $y=C\e^x$. Mit der Anfangsbedingung $y(0)=2$ erhalten wir die Gleichung $2=C\cdot 1$ und finden $y=2\cdot \e^x$ als Lösung des Anfangswertproblems.