Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Bei einer linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind die hängen die Koeffizienten nicht von der Variablen xx ab. In
y(n)+an−1y(n−1)+…y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a2y′′+a1y′+a0y=b +a_2y''+a_1y'+a_0y=b
gilt ak,b∈Ra_k,b\in\R für k=1…n−1k=1\dots n-1.
Analog sind bei einem linearen System alle auftretenden Koeffizienten reelle Zahlen.
z1′=a11z1+a12z2+⋯+a1nzn=b1z_1'=a_{11}z_1+a_{12}z_2+\dots+ a_{1n}z_n=b_1 z2′=a21z1+a22z2+⋯+a2nzn=b2z_2'=a_{21}z_1+a_{22}z_2+\dots+ a_{2n}z_n=b_2 …\dots zn′=an1z1+an2z2+⋯+annzn=bnz_n'=a_{n1}z_1+a_{n2}z_2+\dots+ a_{nn}z_n=b_n
aij, bi∈Ra_{ij},\, b_i\in\R
Das System kann mit z′=Az+bz'=Az+b als Matrixgleichung geschrieben werden, wobei A∈Mat(n×n,R)A\in\Mat(n\cross n,\R).
Ein lineares Differentialgleichungssystem kann in eine lineare DGL überführt werden und umgekehrt. Die Überführung einer linearen Differentialgleichung in ein System ist immer durch Ordnungsreduktion möglich. Umgekehrt kann man ein System in eine lineare DGL überführt werden, indem höhere Ableitungen gebildet werden und die Gleichungen sukzessive eingesetzt werden.

Beispiel

Das allgemeine lineare Differentialgleichungssystem
x′=ax+by+cx'=ax+by+c y′=dx+ey+fy'=dx+ey+f
soll in eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung überführt werden.
x′′=ax′+by′x''=ax'+by' =ax′+b(dx+ey+f)=ax'+b(dx+ey+f) =ax′+bdx+bey+bf=ax'+bdx+bey+bf
Nun ist by=x′−ax−cby=x'-ax-c und wir erhalten: x′′=ax′+bdx+ex′−axy−ce+bfx''=ax'+bdx+ex'-axy-ce+bf =(a+e)x′+(bd−ae)x+bf−ce=(a+e)x'+(bd-ae)x+ bf-ce.
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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