Allgemeines Lösungsverfahren

für die homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Die Differentialgleichung
y(n)+an−1y(n−1)+…y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a2y′′+a1y′+a0y=0 +a_2y''+a_1y'+a_0y=0(1)
kann stets mit dem Ansatz y=e⁡λxy=\e^{\lambda x} gelöst werden. Nach Einsetzen ergibt sich λne⁡λx+an−1λn−1e⁡λx+⋯+a1λe⁡λx+a0e⁡λx\lambda^n\e^{\lambda x}+a_{n-1}\lambda^{n-1}\e^{\lambda x}+\dots+a_1\lambda \e^{\lambda x}+a_0\e^{\lambda x} =(λn+an−1λ+⋯+a1λ+a0)e⁡λx=0=(\lambda^n+a_{n-1}\lambda+\dots+a_1\lambda +a_0)\e^{\lambda x}=0.
Das Polynom
λn+an−1λn−1+…\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots +a2λ2+a1λ+a0=0+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0
heißt charakteristisches Polynom oder charakteristische Gleichung der Differentialgleichung (1). Seine Nullstellen seien λ1,λ2,…,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n. Dann sind die Funktionen yk=e⁡λkxy_k=\e^{\lambda_k x} sämtlich Lösungen der DGL (1) und sie bilden ein Fundamentalsystem, so dass eine beliebige Linearkombination der Form
y=C1e⁡λ1x+C2e⁡λ2x+⋯+Cne⁡λnxy=C_1\e^{\lambda_1 x}+C_2\e^{\lambda_2 x}+\dots +C_n\e^{\lambda_n x}
mit Ck∈RC_k\in\R die allgemeine Lösung von (1) ist.
Ist ein λi=a+bi⁡\lambda_i=a+b\i komplex, so gibt es nach Fundamentalsatz der Algebra stets eine konjugiert komplexe Lösung λj=a−bi⁡\lambda_j=a-b\i. Sie führen nach Anwendung der Eulerschen Formel auf zwei Lösungen der Form
yi=e⁡(a+bi⁡)x=e⁡ax(cos⁡bx+i⁡sin⁡bx)y_i=\e^{(a+b\i)x}=\e^{ax}(\cos bx+\i\sin bx),
yj=e⁡(a−bi⁡)x=e⁡ax(cos⁡bx−i⁡sin⁡bx)y_j=\e^{(a-b\i)x}=\e^{ax}(\cos bx-\i\sin bx).
Addiert man diese bzw. subtrahiert sie (und multipliziert dann mit i⁡\i) erhält man die beiden reellen Lösungen
zi=e⁡axcos⁡bxz_i=\e^{ax}\cos bx und zj=e⁡axsin⁡bxz_j=\e^{ax}\sin bx.
Ersetzt man yiy_i und yjy_j durch ziz_i und zjz_j, so erhält man ein System von nn rein reellen Lösungen, deren Linearkombinationen die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) bilden.
 
 

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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Lineare Differentialgleichungen