Allgemeines Lösungsverfahren

für die homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Die Differentialgleichung
(1)
y(n)+an1y(n1)+y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a2y+a1y+a0y=0 +a_2y''+a_1y'+a_0y=0
kann stets mit dem Ansatz y=eλxy=\e^{\lambda x} gelöst werden. Nach Einsetzen ergibt sich λneλx+an1λn1eλx++a1λeλx+a0eλx\lambda^n\e^{\lambda x}+a_{n-1}\lambda^{n-1}\e^{\lambda x}+\dots+a_1\lambda \e^{\lambda x}+a_0\e^{\lambda x} =(λn+an1λ++a1λ+a0)eλx=0=(\lambda^n+a_{n-1}\lambda+\dots+a_1\lambda +a_0)\e^{\lambda x}=0.
Das Polynom
λn+an1λn1+\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots +a2λ2+a1λ+a0=0+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0
heißt charakteristisches Polynom oder charakteristische Gleichung der Differentialgleichung (1). Seine Nullstellen seien λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n. Dann sind die Funktionen yk=eλkxy_k=\e^{\lambda_k x} sämtlich Lösungen der DGL (1) und sie bilden ein Fundamentalsystem, so dass eine beliebige Linearkombination der Form
y=C1eλ1x+C2eλ2x++Cneλnxy=C_1\e^{\lambda_1 x}+C_2\e^{\lambda_2 x}+\dots +C_n\e^{\lambda_n x}
mit CkRC_k\in\R die allgemeine Lösung von (1) ist.
Ist ein λi=a+bi\lambda_i=a+b\i komplex, so gibt es nach Fundamentalsatz der Algebra stets eine konjugiert komplexe Lösung λj=abi\lambda_j=a-b\i. Sie führen nach Anwendung der Eulerschen Formel auf zwei Lösungen der Form
yi=e(a+bi)x=eax(cosbx+isinbx)y_i=\e^{(a+b\i)x}=\e^{ax}(\cos bx+\i\sin bx),
yj=e(abi)x=eax(cosbxisinbx)y_j=\e^{(a-b\i)x}=\e^{ax}(\cos bx-\i\sin bx).
Addiert man diese bzw. subtrahiert sie (und multipliziert dann mit i\i) erhält man die beiden reellen Lösungen
zi=eaxcosbxz_i=\e^{ax}\cos bx und zj=eaxsinbxz_j=\e^{ax}\sin bx.
Ersetzt man yiy_i und yjy_j durch ziz_i und zjz_j, so erhält man ein System von nn rein reellen Lösungen, deren Linearkombinationen die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) bilden.
 
 

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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