Sonderfälle

bei linearen homogenen Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten

Verschwindende Lösungen der charakteristischen Gleichung

Ist λ=0\lambda=0 eine Lösung der charakteristischen Gleichung λn+an1λn1+\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots +a2λ2+a1λ+a0=0+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0, so erhalten wir formal eine Lösung der Form y=Ce0x=Cy=C\e^{0\cdot x}=C . Tatsächlich ist diese konstante Funktion Lösung der DGL. Das charakteristische Polynom enthält für λ=0\lambda=0 kein Absolutglied, also gilt a0=0a_0=0, womit die DGL die Form y(n)+an1y(n1)+y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a2y+a1y=0 +a_2y''+a_1y'=0 hat und durch eine beliebige konstante Funktion (deren Ableitung verschwindet) gelöst wird.
Bei einem System
x=ax+byx'=ax+by
y=cx+dyy'=cx+dy
ist 00 Eigenwert, wenn es einen Eigenvektor (x0y0)\pmatrix { {x_0}\\{y_0}} gibt mit A(x0y0)=0A\pmatrix { {x_0}\\{y_0}}=0. Es ist x=x0x=x_0; y=y0y=y_0 Lösung des Systems.
 
 

Mehrfache Lösungen der charakteristischen Gleichung

Hat das charakteristische Polynom einer linearen DGL p(λ)=λn+an1λn1+p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots +a2λ2+a1λ+a0+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0 eine kk-fache Nullstelle λ0\lambda_0, so kann es als p(λ)=(λλ0)kq(λ)p(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^kq(\lambda) geschrieben werden. Dann sind die Funktionen
y1=eλ0ty_1=\e^{\lambda_0t}, y2=teλ0ty_2=t\e^{\lambda_0t} ,..., yk=tk1eλ0ty_k=t^{k-1}\e^{\lambda_0t}
kk unabhängige Lösungen der DGL.

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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