Lösung homogener Differentialgleichungssysteme

2x2 System und einführendes Beispiel

Zuerst diskutieren wir das Lösungsverhalten bei linearen homogenen Differentialgleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Seien x(t)x(t) und y(t)y(t) die beiden Funktionen und
x′(t)=ax(t)+by(t)x'(t)=ax(t)+by(t)
y′(t)=cx(t)+dy(t)y'(t)=cx(t)+dy(t)
das Differentialgleichungssystem. In Matrixschreibweise:
(x′(t)y′(t))=(abcd)(x(t)y(t))\pmatrix{ {x'(t)} \\ {y'(t)}}=\pmatrix{a& b\\ c& d}\pmatrix{ {x(t)}\\ {y(t)}}.
Ähnlich wie bei linearen homogenen Differentialgleichungen lösen wir das System mittels eines e⁡\e-Ansatzes.
(x(t)y(t))=(x^e⁡λty^e⁡λt)=e⁡λt(x^y^)\pmatrix{ {x(t)} \\ {y(t)}}=\pmatrix{ {\hat x\e^{\lambda t}}\\ {\hat y\e^{\lambda t}}}=\e^{\lambda t}\pmatrix{ {\hat x}\\ {\hat y}}
Dann ist (x′(t)y′(t))=λe⁡λt(x^y^)\pmatrix{ {x'(t)}\\ {y'(t)}}=\lambda\e^{\lambda t}\pmatrix{ {\hat x}\\ {\hat y}} und wir erhalten die Matrixgleichung λe⁡λt(x^y^)=e⁡λt(abcd)(x^y^)\lambda\e^{\lambda t}\pmatrix{ {\hat x}\\ {\hat y}}=\e^{\lambda t}\pmatrix{a& b\\ c& d}\pmatrix{ {\hat x}\\ {\hat y}}   ⟹  \implies λ(x^y^)=(abcd)(x^y^)\lambda\pmatrix{ {\hat x}\\ {\hat y}}=\pmatrix{a& b\\ c& d}\pmatrix{ {\hat x}\\ {\hat y}}. Setzen wir v=(x^y^)v=\pmatrix{ {\hat x}\\ {\hat y}} und A=(abcd)A=\pmatrix{a& b\\ c& d} erhalten wir eine Gleichung der Form
Av=λvAv=\lambda v,
was aber nichts anderes bedeutet, als dass λ\lambda Eigenwert der Matrix AA ist und vv ein Eigenvektor. Nun besitzt eine 2x2 Matrix im Allgemeinen zwei Eigenwerte λ1\lambda_1 und λ2\lambda_2 sowie v1=(x1y1)v_1=\pmatrix{ {x_1} {y_1}} und v2=(x2y2)v_2=\pmatrix{ {x_2}{y_2}} zwei Eigenvektoren Dann ist die allgemeine Lösung von der Gestalt
(x(t)y(t))=C1e⁡λ1t (x1y1)+C2e⁡λ2t (x2y2)\pmatrix{ {x(t)}\\ {y(t)}}=C_1\e^{\lambda_1 t}\, \pmatrix{ {x_1}\\ {y_1}}+C_2\e^{\lambda_2 t}\, \pmatrix{ {x_2}\\{y_2}}

Beispiel

Reeller Fall

x′=2x−3yx'=2x-3y y′=       3yy'=\, \, \, \, \, \, \, 3y
A=(2−303)A=\pmatrix {2& {-3}\\0& 3 } det⁡(A−λE)=\det(A-\lambda E)= det⁡(2−λ−303−λ) \det \pmatrix { {2-\lambda} & {-3} \\ 0 & {3-\lambda} } =(2−λ)(3−λ)=0=(2-\lambda)(3-\lambda)=0
Eigenwerte: λ1=2\lambda_1=2 und λ2=3\lambda_2=3
Eigenvektoren z.B.: v1=(10)v_1=\pmatrix {1\\ 0} und v2=(−31)v_2=\pmatrix { {-3}\\ 1}
Allgemeine Lösung: (x(t)y(t))=C1e⁡2t (10)+C2e⁡3t (−31)\pmatrix{ {x(t)}\\ {y(t)}}=C_1\e^{2 t}\, \pmatrix{ 1\\ {0}}+C_2\e^{3 t}\, \pmatrix{ {-3}\\{1}}
bzw: x(t)=C1e⁡2t−3C2e⁡3tx(t)=C_1\e^{2 t}-3C_2\e^{3 t} und y(t)=−C2e⁡3ty(t)=-C_2\e^{3 t}
Bei vorgegebenen Anfangswerten können die Konstanten C1C_1 und C2C_2 durch Lösung eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

Komplexer Fall

Sind die auftretenden Eigenwerte komplex, so wird durch geeignete Linearkombination der speziellen Lösungen der Übergang zum Reellen vollzogen.
x′=yx'=y y′=−xy'=-x
A=(01−10)A=\pmatrix {0& {1}\\{-1}& 0} det⁡(A−λE)=\det(A-\lambda E)= det⁡(−λ1−1−λ) \det\pmatrix { {-\lambda}& {1}\\{-1} &{-\lambda} } =λ2+1=0=\lambda^2+1=0
Es ergeben sich die komplexen Eigenwerte λ1=i⁡\lambda_1=\i und λ2=−i⁡\lambda_2=-\i mit dazugehörigen Eigenvektoren: v1=(−i⁡1)v_1=\pmatrix { {-\i}\\ 1} und v2=(i⁡1)v_2=\pmatrix {\i\\ 1}, womit wir die speziellen Lösungen
(i⁡1)e⁡−i⁡t=(i⁡(cos⁡t−i⁡sin⁡t)cos⁡t−i⁡sin⁡t)\pmatrix { \i \\ 1} \e^{-\i t}= \pmatrix{ {\i(\cos t-\i\sin t)}\\ {\cos t-\i\sin t} } =(i⁡cos⁡t+sin⁡t)cos⁡t−i⁡sin⁡t)=\pmatrix{ {\i\cos t+\sin t)}\\ {\cos t-\i\sin t} }
(−i⁡1)e⁡i⁡t=(−i⁡(cos⁡t+i⁡sin⁡t)cos⁡t+i⁡sin⁡t)\pmatrix { {-\i}\\ 1}\e^{\i t}=\pmatrix{ {-\i(\cos t+\i\sin t)}\\ {\cos t+\i\sin t} } =(−i⁡cos⁡t+sin⁡t)cos⁡t+i⁡sin⁡t)=\pmatrix{ {-\i\cos t+\sin t)}\\ {\cos t+\i\sin t} }
erhalten.
Summieren wir die beiden Gleichungen, so erhalten wir: 2⋅(sin⁡tcos⁡t)2\cdot\pmatrix{ {\sin t}\\{\cos t}}; und bilden wir die Differenz und multiplizieren mit i⁡\i erhalten wir: 2⋅(cos⁡t−sin⁡t)2\cdot\pmatrix{ {\cos t}\\{-\sin t}}.
Die allgemeine Lösung ergibt sich dann als:
(x(t)y(t))=C1(sin⁡tcos⁡t)+C2(cos⁡t−sin⁡t)\pmatrix{ {x(t)}\\ {y(t)}}=C_1\pmatrix{ {\sin t}\\{\cos t}}+C_2\pmatrix{ {\cos t}\\{-\sin t}}

Regel für komplexe Eigenwerte

Man nimmt einen der komplexen Eigenwerte und bildet mit dem Eigenvektor die entsprechende komplexe Lösung. Dann liefert Realteil und Imaginärteil der Lösung die beiden reellen Lösungen.
(−i⁡1)e⁡i⁡t=(−i⁡(cos⁡t+i⁡sin⁡t)cos⁡t+i⁡sin⁡t)\pmatrix { {-\i}\\ 1}\e^{\i t}=\pmatrix{ {-\i(\cos t+\i\sin t)}\\ {\cos t+\i\sin t} } =(−i⁡cos⁡t+sin⁡t)cos⁡t+i⁡sin⁡t)=\pmatrix{ {-\i\cos t+\sin t)}\\ {\cos t+\i\sin t} } hat den Realteil (sin⁡tcos⁡t)\pmatrix{ {\sin t}\\{\cos t}} und den Imaginärteil (−cos⁡tsin⁡t)\pmatrix{ {-\cos t}\\{\sin t}}.
 
 

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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