Lösungsverfahren

Sei $z'=Az$ ein lineares homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, wobei $z:\R\to\Rn$ und $A\in\Mat(n\cross n,\R)$ eine reelle Matrix.

Aus der charakteristischen Gleichung der Matrix $A$ erhält man $n$ Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_n$.

Jeder reelle Eigenwert $\lambda_k$ mit einem dazugehörigen Eigenvektor $v_k$ ergibt eine spezielle Lösung $v_k\cdot \e^{\lambda_k t}$ des Differentialgleichungssystems.

Ist $\lambda_k=a+\i b$ ein komplexer Eigenwert und $\lambda_j=a-\i b$ der dazugehörige konjugiert komplexe Eigenwert, so bestimmt man einen komplexen Eigenvektor $w=u+\i v$ für $\lambda_k$. Es ergeben sich zwei reelle Lösungen für $\lambda_k$ und $\lambda_j$ aus dem Realteil und dem Imaginärteil von $w\cdot \e^{\lambda_k t}=(u+\i v)\e^{(a+\i b) t}$ $=(u+\i v)\e^{at}(\cos bt+\i\sin bt)$ $=\e^{at}[u\cos bt-v\sin bt+\i(v\cos bt+u\sin bt)]$ Also gibt es $n$ spezielle reelle Lösungen. Die allgemeine Lösung erhalten wir als beliebige Linearkombination von diesen.

Ist $\lambda$ komplexer Eigenwert mit dem komplexen Eigenvektor $w$ ($Aw=\lambda w$), so erhalten wir mit den Regeln für die komplexe Konjugation (Satz 5228C) und weil $A=\overline{A}$ ($A$ ist eine reelle Matrix): Damit ist $\overline {\lambda}$ Eigenwert und $\overline {w}$ Eigenvektor. Es treten also komplexe Lösungen immer paarweise mit ihren konjugiert komplexen Lösungen auf. Mit $w=u+\i v$\\ erhalten wir die Lösungen: $w\cdot\e^{\lambda t}=(u+\i v)\e^a(\cos bt+\i\sin bt)$ $\overline w\cdot\e^{\overline\lambda t}=(u-\i v)\e^a(\cos bt-\i\sin bt)$

Addiert man beide, ergibt sich $2u\e^a\cos bt$ und bei Subtraktion und Division durch $\i$: $2v\e^a\sin bt$. Unter Berücksichtigung des Auftretens von multiplikativen Integrationskonstanten ist die oben formulierte Regel gültig: Man nehme eine komplexe Lösung und erhält aus ihren Realteil und Imaginärteil zwei reelle Lösungen.