Lösungsverfahren

für lineare homogene Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten

Sei z=Azz'=Az ein lineares homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, wobei z:RRnz:\R\to\Rn und AMat(n×n,R)A\in\Mat(n\cross n,\R) eine reelle Matrix.
Aus der charakteristischen Gleichung der Matrix AA
det(AλE)=0\det(A-\lambda E)=0
erhält man nn Eigenwerte λ1,,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n.
Jeder reelle Eigenwert λk\lambda_k mit einem dazugehörigen Eigenvektor vkv_k ergibt eine spezielle Lösung vkeλktv_k\cdot \e^{\lambda_k t} des Differentialgleichungssystems.
Ist λk=a+ib\lambda_k=a+\i b ein komplexer Eigenwert und λj=aib\lambda_j=a-\i b der dazugehörige konjugiert komplexe Eigenwert, so bestimmt man einen komplexen Eigenvektor w=u+ivw=u+\i v für λk\lambda_k. Es ergeben sich zwei reelle Lösungen für λk\lambda_k und λj\lambda_j aus dem Realteil und dem Imaginärteil von weλkt=(u+iv)e(a+ib)tw\cdot \e^{\lambda_k t}=(u+\i v)\e^{(a+\i b) t} =(u+iv)eat(cosbt+isinbt)=(u+\i v)\e^{at}(\cos bt+\i\sin bt) =eat[ucosbtvsinbt+i(vcosbt+usinbt)]=\e^{at}[u\cos bt-v\sin bt+\i(v\cos bt+u\sin bt)] Also gibt es nn spezielle reelle Lösungen. Die allgemeine Lösung erhalten wir als beliebige Linearkombination von diesen.
 
 

Begründung für den komplexen Fall

Ist λ\lambda komplexer Eigenwert mit dem komplexen Eigenvektor ww (Aw=λwAw=\lambda w), so erhalten wir mit den Regeln für die komplexe Konjugation (Satz 5228C) und weil A=AA=\overline{A} (AA ist eine reelle Matrix):
Aw=Aw=λw=λwA\overline{w}=\overline{Aw}=\overline {\lambda w}=\overline {\lambda}\, \overline {w}.
Damit ist λ\overline {\lambda} Eigenwert und w\overline {w} Eigenvektor. Es treten also komplexe Lösungen immer paarweise mit ihren konjugiert komplexen Lösungen auf. Mit w=u+ivw=u+\i v\\ erhalten wir die Lösungen: weλt=(u+iv)ea(cosbt+isinbt)w\cdot\e^{\lambda t}=(u+\i v)\e^a(\cos bt+\i\sin bt) weλt=(uiv)ea(cosbtisinbt)\overline w\cdot\e^{\overline\lambda t}=(u-\i v)\e^a(\cos bt-\i\sin bt)
Addiert man beide, ergibt sich 2ueacosbt2u\e^a\cos bt und bei Subtraktion und Division durch i\i: 2veasinbt2v\e^a\sin bt. Unter Berücksichtigung des Auftretens von multiplikativen Integrationskonstanten ist die oben formulierte Regel gültig: Man nehme eine komplexe Lösung und erhält aus ihren Realteil und Imaginärteil zwei reelle Lösungen.

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Stephen Hawking

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