Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume von Endomorphismen

Sei jetzt VV ein Vektorraum über K{\mathbb{K}} beliebiger Dimension und f ⁣:V→Vf \colon V \to V ein Endomorphismus. Für alle λ∈K\lambda \in {\mathbb{K}} gilt:
Eλ:={x∈V∣f(x) E_{\lambda} := \{ x \in V \mid f(x) =λx} = \lambda x \} ={x∈V∣(f−λid⁡)(x)=0}=ker(f−λid⁡) \{ x \in V \mid (f-\lambda\id)(x) = 0 \} = \Ker(f-\lambda\id)
ist ein Unterraum von VV.

Definitionen

Ein Skalar λ∈K\lambda \in {\mathbb{K}} heißt Eigenwert des Endomorphismus f ⁣:V→Vf \colon V \to V, wenn dim⁡Eλ=dim⁡ ker(f−λid⁡)>0\dim E_{\lambda} = \dim \, \Ker(f-\lambda\id) > 0 ist, das heißt wenn ein Eigenvektor x∈V ∖{0}x \in V \, \setminus \{ 0 \} existiert mit f(x)=λxf(x) = \lambda x. Eλ=ker(f−λid⁡)⊆VE_{\lambda} = \Ker(f-\lambda\id) \subseteq V heißt dann Eigenraum von ff zum Eigenwert λ\lambda, und seine Dimension d≥1d \ge 1 die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ\lambda.
 
 

Bemerkungen

  1. Der Nullvektor ist niemals Eigenvektor und kein Eigenraum ist 0-dimensional.
  2. λ\lambda Eigenwert von f   ⟺   dim⁡ ker(f−λid⁡)>0   ⟺   f−λid⁡f \,\iff\, \dim \, \Ker(f-\lambda\id) > 0 \,\iff\, f-\lambda\id nicht regulär (   ⟺   det⁡(f−λid⁡)=0{\,\iff\,} \det(f-\lambda\id) = 0).
    Anders ausgedrückt (Fredholm-Alternative): Entweder ist λ\lambda Eigenwert von ff, oder f−λid⁡f-\lambda\id ist regulär.

Beispiele

Sei V=R2V=\R^2 und f(v)=(12002)vf(v)=\pmatrix{{\frac 1 2 }& 0 \\ 0 &2}v. ff ist eine Streckung in yy-Richtung und eine Stauchung in xx-Richtung. (10)\left(\array{ 1 \\ 0}\right) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 12\dfrac 1 2 und (01)\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) ist Eigenvektor zum Eigenwert 22. Sei V=R2V=\R^2 und f(v)=(01−10)vf(v)=\left(\begin{array}{c} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{array}\right)v. ff ist eine Drehung und hat gar keine Eigenvektoren. Die Nullabbildung hat nur den Eigenwert 00 und alle Vektoren v∈V∖{0}v\in V\setminus\{0\} sind Eigenvektoren. Die identische Abbildung id⁡:V⟼V\id:V\longmapsto V hat nur den Eigenwert 11 und alle Vektoren v∈V∖{0}v\in V\setminus\{0\} sind Eigenvektoren.

Einige Eigenschaften von Eigenwerten, Eigenräumen:

Satz 816H

Ein Eigenraum EλE_{\lambda} zum Eigenwert λ\lambda von f ⁣:V→Vf \colon V \to V ist invariant, das heißt es gilt f[Eλ]⊂Eλf[E_{\lambda}] \subset E_{\lambda}, sogar f[Eλ]=Eλf[E_{\lambda}] = E_{\lambda}, falls λ≠0\lambda \ne 0.

Beweis

y∈f[Eλ]   ⟹   y=f(x)y \in f[E_{\lambda}] \,\implies\, y = f(x) mit x∈Eλ   ⟹   f(y)=f(f(x))=f(λ⋅x)=λ⋅f(x)=λ⋅yx \in E_{\lambda} \,\implies\, f(y) = f(f(x)) = f(\lambda\cdot x) = \lambda \cdot f(x) =\lambda\cdot y    ⟹   y∈Eλ \,\implies\, y \in E_{\lambda} x∈Eλ   ⟹   λx=f(x)∈f[Eλ]⊆V   ⟹   λ≠0x∈f[Eλ]x\in E_{\lambda} \,\implies\, \lambda x = f(x) \in f[E_{\lambda}] \subseteq V \stackrel{\lambda\ne 0}{\,\implies\,} x \in f[E_{\lambda}]. □\qed

Satz 816I

Die Eigenvektoren x1,…,xmx_1,\dots,x_m zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1,…,λm\lambda_1,\dots,\lambda_m eines Endomorphismus f ⁣:V→Vf\colon V \to V sind linear unabhängig.

Beweis

Durch vollständige Induktion nach der Anzahl mm: Induktionsanfang: Ein Eigenvektor x1x_1 ist nach Definition nicht der Nullvektor, also linear unabhängig. Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für je mm Vektoren. Induktionsschluss: Wir nehmen an, die Eigenvektoren x1,…,xm+1x_1,\dots,x_{m+1} seien linear abhängig, das heißt es existiert eine nichttriviale Linearkombination
∑i=1m+1αixi=0\sum\limits_{i=1}^{m+1}\alpha_ix_i= 0.(1)
Die Anwendung von ff liefert ebenfalls
∑i=1m+1αif(xi)=∑i=1m+1αiλixi=0=f(0)\sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_if(x_i) = \sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_i\lambda_ix_i = 0 = f(0).(2)
Die Multiplikation von (1) mit λk\lambda_k (k=1,…,m+1k=1,\dots,m+1) und Subtraktion von (2) liefert dann:
∑i=1m+1αi(λi−λk)xi=∑i≠kαi(λi−λk)⎵≠0xi\sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_i(\lambda_i-\lambda_k)x_i = \sum\limits_{i\ne k} \alpha_i \underbrace{(\lambda_i - \lambda_k)}_{\ne 0} x_i
Dies ist für mindestens ein kk eine nichttriviale Linearkombination aus mm Eigenvektoren, die Null ergibt, im Widerspruch zur Induktionsannahme. □\qed Folgerung: Die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte eines Endomorphismus f ⁣:V→Vf\colon V \to V ist nicht größer als die Dimension von VV. Eine weitere Folgerung ist:

Satz 816J

Die Summe E=Eλ1+⋯+Eλm⊆VE = E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_m} \subseteq V von Eigenräumen zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1,…,λm\lambda_1,\dots,\lambda_m ist direkt, das heißt E=Eλ1⊕⋯⊕EλmE = E_{\lambda_1} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_m}. Insbesondere haben Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten λ\lambda und μ\mu nur den Nullvektor gemeinsam: λ≠μ   ⟹   Eλ∩Eμ={0}\lambda \ne \mu \,\implies\, E_{\lambda} \cap E_{\mu} = \{ 0 \}.

Beweis

Indirekt:sei x∈Ex \in E und xx habe keine eindeutige Darstellung. Also x=x1+⋯+xm=y1+⋯+ymx = x_1 + \dots + x_m = y_1 + \dots + y_m mit xi,yi∈Eλix_i,y_i \in E_{\lambda_i} und xj≠yjx_j \ne y_j für mindestens ein j∈{1,…,m}   ⟹   z1+⋯+zm:=(y1−x1)+⋯+(ym−xm)=0j \in \{ 1,\dots, m \} \,\implies\, z_1 + \dots + z_m := (y_1-x_1) + \dots + (y_m-x_m) = 0 mit zi∈Eλiz_i \in E_{\lambda_i} und zj≠0z_j \ne 0 für mindestens ein jj, etwa zj1,…,zjr≠0z_{j_1},\dots,z_{j_r} \ne 0   ⟹   zj1+⋯+zjr=0 \implies\, z_{j_1} + \dots + z_{j_r} = 0   ⟹   zj1,…,zjr \implies\, z_{j_1},\dots,z_{j_r} linear abhängig. Widerspruch zu Satz 816I. □\qed

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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