Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume von Endomorphismen

Sei jetzt \(\displaystyle V\) ein Vektorraum über \(\displaystyle {\mathbb{K}}\) beliebiger Dimension und \(\displaystyle f \colon V \to V\) ein Endomorphismus. Für alle \(\displaystyle \lambda \in {\mathbb{K}}\) gilt:
\(\displaystyle E_{\lambda} := \{ x \in V \mid f(x) \)\(\displaystyle = \lambda x \} \)=\(\displaystyle \{ x \in V \mid (f-\lambda\id)(x) = 0 \} = \Ker(f-\lambda\id) \)
ist ein Unterraum von \(\displaystyle V\).

Definitionen

Ein Skalar \(\displaystyle \lambda \in {\mathbb{K}}\) heißt Eigenwert des Endomorphismus \(\displaystyle f \colon V \to V\), wenn \(\displaystyle \dim E_{\lambda} = \dim \, \Ker(f-\lambda\id) > 0\) ist, das heißt wenn ein Eigenvektor \(\displaystyle x \in V \, \setminus \{ 0 \}\) existiert mit \(\displaystyle f(x) = \lambda x\). \(\displaystyle E_{\lambda} = \Ker(f-\lambda\id) \subseteq V\) heißt dann Eigenraum von \(\displaystyle f\) zum Eigenwert \(\displaystyle \lambda\), und seine Dimension \(\displaystyle d \ge 1\) die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes \(\displaystyle \lambda\).
 
 

Bemerkungen

  1. Der Nullvektor ist niemals Eigenvektor und kein Eigenraum ist 0-dimensional.
  2. \(\displaystyle \lambda\) Eigenwert von \(\displaystyle f \,\iff\, \dim \, \Ker(f-\lambda\id) > 0 \,\iff\, f-\lambda\id\) nicht regulär (\(\displaystyle {\,\iff\,} \det(f-\lambda\id) = 0\)).
    Anders ausgedrückt (Fredholm-Alternative): Entweder ist \(\displaystyle \lambda\) Eigenwert von \(\displaystyle f\), oder \(\displaystyle f-\lambda\id\) ist regulär.

Beispiele

Sei \(\displaystyle V=\R^2\) und \(\displaystyle f(v)=\pmatrix{{\frac 1 2 }& 0 \\ 0 &2}v\). \(\displaystyle f\) ist eine Streckung in \(\displaystyle y\)-Richtung und eine Stauchung in \(\displaystyle x\)-Richtung. \(\displaystyle \left(\array{ 1 \\ 0}\right)\) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\displaystyle \dfrac 1 2\) und \(\displaystyle \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\) ist Eigenvektor zum Eigenwert \(\displaystyle 2\).Sei \(\displaystyle V=\R^2\) und \(\displaystyle f(v)=\left(\begin{array}{c} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{array}\right)v\). \(\displaystyle f\) ist eine Drehung und hat gar keine Eigenvektoren.Die Nullabbildung hat nur den Eigenwert \(\displaystyle 0\) und alle Vektoren \(\displaystyle v\in V\setminus\{0\}\) sind Eigenvektoren.Die identische Abbildung \(\displaystyle \id:V\longmapsto V\) hat nur den Eigenwert \(\displaystyle 1\) und alle Vektoren \(\displaystyle v\in V\setminus\{0\}\) sind Eigenvektoren.
Einige Eigenschaften von Eigenwerten, Eigenräumen:

Satz 816H

Ein Eigenraum \(\displaystyle E_{\lambda}\) zum Eigenwert \(\displaystyle \lambda\) von \(\displaystyle f \colon V \to V\) ist invariant, das heißt es gilt \(\displaystyle f[E_{\lambda}] \subset E_{\lambda}\), sogar \(\displaystyle f[E_{\lambda}] = E_{\lambda}\), falls \(\displaystyle \lambda \ne 0\).

Beweis

\(\displaystyle y \in f[E_{\lambda}] \,\implies\, y = f(x)\) mit \(\displaystyle x \in E_{\lambda} \,\implies\, f(y) = f(f(x)) = f(\lambda\cdot x) = \lambda \cdot f(x) =\lambda\cdot y \)\(\displaystyle \,\implies\, y \in E_{\lambda}\)\(\displaystyle x\in E_{\lambda} \,\implies\, \lambda x = f(x) \in f[E_{\lambda}] \subseteq V \stackrel{\lambda\ne 0}{\,\implies\,} x \in f[E_{\lambda}]\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 816I

Die Eigenvektoren \(\displaystyle x_1,\dots,x_m\) zu paarweise verschiedenen Eigenwerten \(\displaystyle \lambda_1,\dots,\lambda_m\) eines Endomorphismus \(\displaystyle f\colon V \to V\) sind linear unabhängig.

Beweis

Durch vollständige Induktion nach der Anzahl \(\displaystyle m\): Induktionsanfang: Ein Eigenvektor \(\displaystyle x_1\) ist nach Definition nicht der Nullvektor, also linear unabhängig. Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für je \(\displaystyle m\) Vektoren. Induktionsschluss: Wir nehmen an, die Eigenvektoren \(\displaystyle x_1,\dots,x_{m+1}\) seien linear abhängig, das heißt es existiert eine nichttriviale Linearkombination
(1)
\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m+1}\alpha_ix_i= 0\).
Die Anwendung von \(\displaystyle f\) liefert ebenfalls
(2)
\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_if(x_i) = \sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_i\lambda_ix_i = 0 = f(0)\).
Die Multiplikation von (1) mit \(\displaystyle \lambda_k\) (\(\displaystyle k=1,\dots,m+1\)) und Subtraktion von (2) liefert dann:
\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_i(\lambda_i-\lambda_k)x_i = \sum\limits_{i\ne k} \alpha_i \underbrace{(\lambda_i - \lambda_k)}_{\ne 0} x_i\)
Dies ist für mindestens ein \(\displaystyle k\) eine nichttriviale Linearkombination aus \(\displaystyle m\) Eigenvektoren, die Null ergibt, im Widerspruch zur Induktionsannahme. \(\displaystyle \qed\) Folgerung: Die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte eines Endomorphismus \(\displaystyle f\colon V \to V\) ist nicht größer als die Dimension von \(\displaystyle V\).Eine weitere Folgerung ist:

Satz 816J

Die Summe \(\displaystyle E = E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_m} \subseteq V\) von Eigenräumen zu paarweise verschiedenen Eigenwerten \(\displaystyle \lambda_1,\dots,\lambda_m\) ist direkt, das heißt \(\displaystyle E = E_{\lambda_1} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_m}\). Insbesondere haben Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten \(\displaystyle \lambda\) und \(\displaystyle \mu\) nur den Nullvektor gemeinsam: \(\displaystyle \lambda \ne \mu \,\implies\, E_{\lambda} \cap E_{\mu} = \{ 0 \}\).

Beweis

Indirekt:sei \(\displaystyle x \in E\) und \(\displaystyle x\) habe keine eindeutige Darstellung. Also \(\displaystyle x = x_1 + \dots + x_m = y_1 + \dots + y_m\) mit \(\displaystyle x_i,y_i \in E_{\lambda_i}\) und \(\displaystyle x_j \ne y_j\) für mindestens ein \(\displaystyle j \in \{ 1,\dots, m \} \,\implies\, z_1 + \dots + z_m := (y_1-x_1) + \dots + (y_m-x_m) = 0\) mit \(\displaystyle z_i \in E_{\lambda_i}\) und \(\displaystyle z_j \ne 0\) für mindestens ein \(\displaystyle j\), etwa \(\displaystyle z_{j_1},\dots,z_{j_r} \ne 0 \)\(\displaystyle \implies\, z_{j_1} + \dots + z_{j_r} = 0 \)\(\displaystyle \implies\, z_{j_1},\dots,z_{j_r}\) linear abhängig. Widerspruch zu Satz 816I. \(\displaystyle \qed\)

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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