Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume von Endomorphismen

Sei jetzt VV ein Vektorraum über K{\mathbb{K}} beliebiger Dimension und f ⁣:VVf \colon V \to V ein Endomorphismus. Für alle λK\lambda \in {\mathbb{K}} gilt:
Eλ:={xVf(x) E_{\lambda} := \{ x \in V \mid f(x) =λx} = \lambda x \} ={xV(fλid)(x)=0}=ker(fλid) \{ x \in V \mid (f-\lambda\id)(x) = 0 \} = \Ker(f-\lambda\id)
ist ein Unterraum von VV.

Definitionen

Ein Skalar λK\lambda \in {\mathbb{K}} heißt Eigenwert des Endomorphismus f ⁣:VVf \colon V \to V, wenn dimEλ=dimker(fλid)>0\dim E_{\lambda} = \dim \, \Ker(f-\lambda\id) > 0 ist, das heißt wenn ein Eigenvektor xV{0}x \in V \, \setminus \{ 0 \} existiert mit f(x)=λxf(x) = \lambda x. Eλ=ker(fλid)VE_{\lambda} = \Ker(f-\lambda\id) \subseteq V heißt dann Eigenraum von ff zum Eigenwert λ\lambda, und seine Dimension d1d \ge 1 die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ\lambda.
 
 

Bemerkungen

  1. Der Nullvektor ist niemals Eigenvektor und kein Eigenraum ist 0-dimensional.
  2. λ\lambda Eigenwert von f    dimker(fλid)>0    fλidf \,\iff\, \dim \, \Ker(f-\lambda\id) > 0 \,\iff\, f-\lambda\id nicht regulär (    det(fλid)=0{\,\iff\,} \det(f-\lambda\id) = 0).
    Anders ausgedrückt (Fredholm-Alternative): Entweder ist λ\lambda Eigenwert von ff, oder fλidf-\lambda\id ist regulär.

Beispiele

Sei V=R2V=\R^2 und f(v)=(12002)vf(v)=\pmatrix{{\frac 1 2 }& 0 \\ 0 &2}v. ff ist eine Streckung in yy-Richtung und eine Stauchung in xx-Richtung. (10)\left(\array{ 1 \\ 0}\right) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 12\dfrac 1 2 und (01)\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) ist Eigenvektor zum Eigenwert 22. Sei V=R2V=\R^2 und f(v)=(0110)vf(v)=\left(\begin{array}{c} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{array}\right)v. ff ist eine Drehung und hat gar keine Eigenvektoren. Die Nullabbildung hat nur den Eigenwert 00 und alle Vektoren vV{0}v\in V\setminus\{0\} sind Eigenvektoren. Die identische Abbildung id:VV\id:V\longmapsto V hat nur den Eigenwert 11 und alle Vektoren vV{0}v\in V\setminus\{0\} sind Eigenvektoren.

Einige Eigenschaften von Eigenwerten, Eigenräumen:

Satz 816H

Ein Eigenraum EλE_{\lambda} zum Eigenwert λ\lambda von f ⁣:VVf \colon V \to V ist invariant, das heißt es gilt f[Eλ]Eλf[E_{\lambda}] \subset E_{\lambda}, sogar f[Eλ]=Eλf[E_{\lambda}] = E_{\lambda}, falls λ0\lambda \ne 0.

Beweis

yf[Eλ]    y=f(x)y \in f[E_{\lambda}] \,\implies\, y = f(x) mit xEλ    f(y)=f(f(x))=f(λx)=λf(x)=λyx \in E_{\lambda} \,\implies\, f(y) = f(f(x)) = f(\lambda\cdot x) = \lambda \cdot f(x) =\lambda\cdot y     yEλ \,\implies\, y \in E_{\lambda} xEλ    λx=f(x)f[Eλ]V    λ0xf[Eλ]x\in E_{\lambda} \,\implies\, \lambda x = f(x) \in f[E_{\lambda}] \subseteq V \stackrel{\lambda\ne 0}{\,\implies\,} x \in f[E_{\lambda}]. \qed

Satz 816I

Die Eigenvektoren x1,,xmx_1,\dots,x_m zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1,,λm\lambda_1,\dots,\lambda_m eines Endomorphismus f ⁣:VVf\colon V \to V sind linear unabhängig.

Beweis

Durch vollständige Induktion nach der Anzahl mm: Induktionsanfang: Ein Eigenvektor x1x_1 ist nach Definition nicht der Nullvektor, also linear unabhängig. Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für je mm Vektoren. Induktionsschluss: Wir nehmen an, die Eigenvektoren x1,,xm+1x_1,\dots,x_{m+1} seien linear abhängig, das heißt es existiert eine nichttriviale Linearkombination
(1)
i=1m+1αixi=0\sum\limits_{i=1}^{m+1}\alpha_ix_i= 0.
Die Anwendung von ff liefert ebenfalls
(2)
i=1m+1αif(xi)=i=1m+1αiλixi=0=f(0)\sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_if(x_i) = \sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_i\lambda_ix_i = 0 = f(0).
Die Multiplikation von (1) mit λk\lambda_k (k=1,,m+1k=1,\dots,m+1) und Subtraktion von (2) liefert dann:
i=1m+1αi(λiλk)xi=ikαi(λiλk)0xi\sum\limits_{i=1}^{m+1} \alpha_i(\lambda_i-\lambda_k)x_i = \sum\limits_{i\ne k} \alpha_i \underbrace{(\lambda_i - \lambda_k)}_{\ne 0} x_i
Dies ist für mindestens ein kk eine nichttriviale Linearkombination aus mm Eigenvektoren, die Null ergibt, im Widerspruch zur Induktionsannahme. \qed Folgerung: Die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte eines Endomorphismus f ⁣:VVf\colon V \to V ist nicht größer als die Dimension von VV. Eine weitere Folgerung ist:

Satz 816J

Die Summe E=Eλ1++EλmVE = E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_m} \subseteq V von Eigenräumen zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1,,λm\lambda_1,\dots,\lambda_m ist direkt, das heißt E=Eλ1EλmE = E_{\lambda_1} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_m}. Insbesondere haben Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten λ\lambda und μ\mu nur den Nullvektor gemeinsam: λμ    EλEμ={0}\lambda \ne \mu \,\implies\, E_{\lambda} \cap E_{\mu} = \{ 0 \}.

Beweis

Indirekt:sei xEx \in E und xx habe keine eindeutige Darstellung. Also x=x1++xm=y1++ymx = x_1 + \dots + x_m = y_1 + \dots + y_m mit xi,yiEλix_i,y_i \in E_{\lambda_i} und xjyjx_j \ne y_j für mindestens ein j{1,,m}    z1++zm:=(y1x1)++(ymxm)=0j \in \{ 1,\dots, m \} \,\implies\, z_1 + \dots + z_m := (y_1-x_1) + \dots + (y_m-x_m) = 0 mit ziEλiz_i \in E_{\lambda_i} und zj0z_j \ne 0 für mindestens ein jj, etwa zj1,,zjr0z_{j_1},\dots,z_{j_r} \ne 0     zj1++zjr=0 \implies\, z_{j_1} + \dots + z_{j_r} = 0     zj1,,zjr \implies\, z_{j_1},\dots,z_{j_r} linear abhängig. Widerspruch zu Satz 816I. \qed

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

Copyright Missing!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе