Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus

Problem: Wie findet man die Eigenwerte \(\displaystyle \lambda\) einer linearen Abbildung \(\displaystyle f \colon V \to V\) (\(\displaystyle \dim V = n \in {\N}\))?Lösung: \(\displaystyle \lambda\) Eigenwert von \(\displaystyle f\) ist äquivalent zu \(\displaystyle E_\lambda := \Ker(f-\lambda\id) \ne 0 \,\iff\, f - \id \lambda\) ist nicht regulär, wiederum (nach Satz 16N6) äquivalent zu \(\displaystyle \det (f-\lambda\id) = 0 \,\iff\, \det(A-\lambda E) = 0\) mit der Darstellungsmatrix \(\displaystyle A\) von \(\displaystyle f\) bezüglich irgendeiner Basis von \(\displaystyle V\). Die formale Entwicklung von
\(\displaystyle \det(A-tE) = {\begin{vmatrix}a_{11}-t&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-t&\dots&\vdots\\ \vdots&\, &\ddots&\vdots \\ a_{n1}&\dots&\dots &a_{nn}-t \end{vmatrix}}\)
mit einer Unbestimmten \(\displaystyle t\) zeigt, dass \(\displaystyle \det(f-t\id) = \det(A-tE)\) ein Polynom aus \(\displaystyle K[t]\) vom Grade \(\displaystyle n\) ist Dieses heißt das charakteristische Polynom.
 
 

Beispiel

Sei \(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0&1&0\\2&1&0\\-1&0&1 \end{pmatrix}\), \(\displaystyle \ A-tE= \begin{pmatrix} -t&-1&0\\-2&1-t&0\\1&0&1-t \end{pmatrix} \). Dann ist: \(\displaystyle \det(A-tE)= -t(t-1)^2+2(t-1)\)\(\displaystyle =-t^3+2t^2+t-1 \)

Satz 81GE

Sei \(\displaystyle V\) ein Vektorraum über \(\displaystyle {\mathbb{K}}\) mit \(\displaystyle \dim V = n \in {\N}\) und \(\displaystyle f \colon V \to V\) ein Endomorphismus. Dann giltDie Eigenwerte \(\displaystyle \lambda \in K\) von \(\displaystyle f\) sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
\(\displaystyle \chi_f(t) := \det(f-t\id) \in K[t] \)
von \(\displaystyle f\) vom Grade \(\displaystyle n = \dim V\).Mit der Darstellungsmatrix \(\displaystyle A\) von \(\displaystyle f\) bezüglich einer beliebigen Basis von \(\displaystyle V\) gilt
\(\displaystyle \chi_f(t) = \det(A-tE) =: \chi_A(t) \)
genannt charakteristisches Polynom der Matrix \(\displaystyle A \in \Mat(n,n,{\mathbb{K}})\).

Bemerkung

Das charakteristische Polynom \(\displaystyle \chi_f(t)\) eines Endomorphismus \(\displaystyle f\) (samt Koeffizienten und Nullstellen) ist eine basisinvariante Grösse, ändert sich beim Wechsel der Basis also nicht.Ähnliche Matrizen \(\displaystyle A \approx A'\) besitzen das gleiche charakteristische Polynom \(\displaystyle \chi_A(t) = \chi_{A'}(t)\).Auch beim Übergang von \(\displaystyle A\) zur transponierten Matrix \(\displaystyle A^T\) ändert sich das charakteristische Polynom nicht: \(\displaystyle \chi_A(t) = \chi_{A^T}(t)\). \(\displaystyle \chi_{A^T}(t) = \det(A^T-tE) \)\(\displaystyle = \det \left((A-tE)^T\right) \)\(\displaystyle = \det(A-tE) = \chi_A(t)\).

Satz 81IE

Das charakteristische Polynom \(\displaystyle \chi_f(t)\) von \(\displaystyle f \colon V \to V\) (\(\displaystyle \dim V = n \in {\N}\)) besitzt die Gestalt
\(\displaystyle \chi_f(t) = \sum\limits_{m=0}^n (-1)^{n-m}k_m(f) t^{n-m} \)\(\displaystyle = k_n(f) - k_{n-1}(f)t + \dots \pm k_1(f)t^{n-1} \mp k_0(f)t^n \)
mit Koeffizienten \(\displaystyle k_m(f) \in K\) (\(\displaystyle 0 \le m \le n\)), den sogenannten Elementarinvarianten von \(\displaystyle f\). Diese lassen sich mit irgendeiner Basis \(\displaystyle \{ b_1,\dots,b_n \}\) von \(\displaystyle V\) und irgendeiner nichttrivialen Determinantenform \(\displaystyle \Delta\) auf \(\displaystyle V\) berechnen durch:
\(\displaystyle k_m(f) = \sum\limits_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \dfrac{\Delta\left(b_1,\dots,f(b_{i_1}),\dots,f(b_{i_m}),\dots,b_n\right)}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} \)
Insbesondere gilt: \(\displaystyle k_0(f) = 1\), \(\displaystyle k_1 = \operatorname{tr} f = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\Delta(b_1,\dots,\stackrel{(i)}{f(b_i)},\dots,b_n)}{\Delta(b_1,\dots,b_n)}\) (Spur von \(\displaystyle f\)) und \(\displaystyle k_n(f) = \det f = \dfrac{\Delta(f(b_1),\dots,f(b_n))}{\Delta(b_1,\dots,b_n)}\) (Determinante von \(\displaystyle f\)).

Beweis

\(\displaystyle \chi_f(t) = \det(f-t\id) \) \(\displaystyle = \dfrac{\Delta\left(f(b_1)-tb_1,\dots,f(b_n)-tb_n\right)}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} \)\(\displaystyle = \dfrac{1}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} \left [ \Delta(-tb_1,\dots,-tb_n) + \sum\limits_{i=1}^n \Delta(-tb_1,\dots,f(b_i),\dots,-tb_n)+ \dots + \sum\limits_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \Delta(-tb_1,\dots,f(b_{i-1}),\dots,f(b_{i_m}),\dots,-tb_n) + \Delta(f(b_1),\dots,f(b_m)) \right] \) \(\displaystyle = 1 \cdot (-t)^n + k_1(f)(-t)^{n-1} + \dots + k_m(f)(-t)^{n-m} + k_n(f)(-t)^0 \)Man kann die Koeffizienten \(\displaystyle k_m(t)\) auch durch die Einträge der Darstellungsmatrix \(\displaystyle A\) von \(\displaystyle f\) bezüglich der verwendeten Basis \(\displaystyle \{ b_1,\dots,b_n \}\) ausdrücken:Wegen \(\displaystyle f(b_i) = \sum\limits_{l=1}^n a_{li}b_l\) folgt\(\displaystyle k_{m}(A) := \sum\limits_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \dfrac{\Delta(b_1,\dots,\stackrel{(i_1)}{\sum\limits_{l_1=1}^n a_{l_1i_1}b_{l_1}}, \dots,\stackrel{(i_m)}{\sum\limits_{l_m=1}^na_{l_mi_m}b_{l_m},\dots,b_n},\dots,b_n)} {\Delta(b_1,\dots,b_n)} \) \(\displaystyle = \sum\limits_{i_1<\dots<i_m} \sum\limits_{l_1,\dots,l_m=1}^n a_{l_1i_1}\cdots a_{l_mi_m} \dfrac{\Delta(b_1,\dots,\stackrel{(i_1)}{b_{l_1}},\dots, \stackrel{(i_m)}{b_{l_m}},\dots,b_n)}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} \) \(\displaystyle = \sum\limits_{i_1<\dots<i_m} \sum\limits_{\sigma\in S_m} a_{i_{\sigma(1)}i_1} \cdots a_{i_{\sigma(m)}i_m} \dfrac{\Delta(b_1,\dots,b_{i\sigma(1)},\dots,b_{i\sigma(m)},\dots,b_n)} {\Delta(b_1,\dots,b_n)} \) \(\displaystyle = \sum\limits_{i_1<\dots<i_m} \sum\limits_{\sigma \in S_m} \operatorname{sgn}\sigma a_{i_{\sigma(1)}i_1} \cdots a_{i_{\sigma(m)}i_m} \cdot 1 \) \(\displaystyle \stackrel{\pi=\sigma^{-1}}{=} \sum\limits_{i_1<\dots<i_m} \sum\limits_{\pi \in S_m} \operatorname{sgn}\pi a_{i_1i_{\pi(1)}}\cdots a_{i_mi_{\pi(m)}} \) \(\displaystyle \qed\)
Korollar: Für die Koeffizienten \(\displaystyle k_m(A)\) (\(\displaystyle 0 \le m \le n\)) des charakteristischen Polynoms
\(\displaystyle \chi_A(t) = \begin{vmatrix} a_{11}-t & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}-t \end{vmatrix} = \sum\limits_{m=0}^n k_m(A)(-t)^{n-m} \)
einer Matrix \(\displaystyle A \in \Mat(n\cross n,{\mathbb{K}})\) gilt:
\(\displaystyle k_m(A) = \sum\limits_{1\le i_1 < \dots < i_m \le n} \sum\limits_{\pi\in S_n} \operatorname{sgn}\pi a_{i_1i_{\pi(1)}} \cdots a_{i_mi_{\pi(m)}} \) \(\displaystyle = \sum\limits_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \begin{vmatrix} a_{i_1i_1} & \cdots & a_{i_1i_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_mi_1} & \cdots & a_{i_mi_m} \end{vmatrix} \)
Insbesondere ist \(\displaystyle k_0(A) = 1\), \(\displaystyle k_1(A) = \operatorname{spur} A = \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}\) (Spur von \(\displaystyle A\)) und \(\displaystyle k_n(A) = \det A \) \(\displaystyle = \sum\limits_{\pi\in S_n} \operatorname{sgn}\pi a_{1\pi(1)} \cdots a_{n\pi(n)}\) (Determinante von \(\displaystyle A\)). Wichtig: Die Zahlen \(\displaystyle k_m(A)\), insbesondere Spur und Determinante sind unabhängig von der verwendeten Darstellungsmatrix \(\displaystyle A\). Sie ändern sich nicht, wenn man zu einer ähnlichen Matrix \(\displaystyle A' = TAT^{-1}\) übergeht.

Beispiel

Für \(\displaystyle n=2\) ergibt sich: \(\displaystyle \chi_A(t) = t^2 - \operatorname{spur} A \cdot t + \det A\).Für \(\displaystyle n=3\) erhält man: \(\displaystyle \chi_A(t) = -t^3 + \operatorname{spur} A \cdot t^2 - k_2(A) \cdot t + \det A\) mit \(\displaystyle k_2(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\).

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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