Transponierte Matrizen

Aus einer Matrix A=(aij)A=(a_{ij}) aus Mat(m×n,K)\Mat(m\cross n, K) können wir eine neue Matrix bilden, indem wir Zeilen und Spalten vertauschen. Diese Matrix AtA^t heißt dann die transponierte Matrix und gehört zu Mat(n×m,K)\Mat(n\cross m, K).
Eine Matrix AA die mit ihrer transponierten Matrix übereinstimmt, für die also A=AtA=A^t gilt, heißt symmetrische Matrix. Dies kann natürlich nur für quadratische Matrizen der Fall sein. Die Werte symmetrischer Matrizen können dann an der Hauptdiagonalen gespiegelt werden. Einfachste Beispiele für symmetrische Matrizen sind die Nullmatrix und die Einheitsmatrix.
Eine Matrix AA für die At=−AA^t=-A gilt heißt schiefsymmetrisch.
Sei AA eine quadratische Matrix, S=12(A+At)S=\dfrac 1 2 (A+A^t) und U=12(A−At)U=\dfrac 1 2 (A-A^t), so ist SS symmetrisch und UU schiefsymmetrisch und wegen A=S+UA=S+U können wir jede quadratische Matrix als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix darstellen.
Die Transponierte eines Zeilenvektors ist ein Spaltenvektor und umgekehrt.

Beispiele

Sei A=(123456)\displaystyle{{A}={\left(\begin{array}{ccc} {1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\end{array}\right)}}, so ist At=(142536)\displaystyle{{A}^{{t}}={\left(\begin{array}{cc} {1}&{4}\\{2}&{5}\\{3}&{6}\end{array}\right)}}.
Die Matrix A=(123246365)\displaystyle{{A}={\left(\begin{array}{ccc} {1}&{2}&{3}\\{2}&{4}&{6}\\{3}&{6}&{5}\end{array}\right)}} ist eine symmetrische Matrix, die mit ihrer transponierten At\displaystyle{{A}^{{t}}} übereinstimmt.

Satz 15XT (Eigenschaften der Transponierten)

Seien A,BA,B zwei Matrizen aus Mat(m×n,K)\Mat(m\cross n, K) und α∈K\alpha\in K. Dann gilt:
  1. (A+B)t=At+Bt(A+B)^t=A^t+B^t
  2. (αA)t=α⋅At(\alpha A)^t=\alpha\cdot A^t
  3. (At)t=A(A^t)^t=A
  4. (A⋅B)t=Bt⋅At(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t
  5. (A−1)t=(At)−1(A^\me)^t=(A^t)^\me falls AA invertierbar
Wegen (i) und (ii) ist das Transponieren  t:Mat(m×n,K)→Mat(n×m,K)\, ^t:\Mat(m\cross n, K)\rightarrow \Mat(n\cross m, K) eine lineare Abbildung und da bijektiv auch ein Vektorraumisomorphismus. Wegen (iii) ist das Transponieren eine Involution, woraus sich auch die Bijektivität ergibt (Satz C86B).

Beweis

Ist schnell mit der Definition nachgerechnet. □\qed
 
 

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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