Transponierte Matrizen

Aus einer Matrix \(\displaystyle A=(a_{ij})\) aus \(\displaystyle \Mat(m\cross n, K)\) können wir eine neue Matrix bilden, indem wir Zeilen und Spalten vertauschen. Diese Matrix \(\displaystyle A^t\) heißt dann die transponierte Matrix und gehört zu \(\displaystyle \Mat(n\cross m, K)\).
Eine Matrix \(\displaystyle A\) die mit ihrer transponierten Matrix übereinstimmt, für die also \(\displaystyle A=A^t\) gilt, heißt symmetrische Matrix. Dies kann natürlich nur für quadratische Matrizen der Fall sein. Die Werte symmetrischer Matrizen können dann an der Hauptdiagonalen gespiegelt werden. Einfachste Beispiele für symmetrische Matrizen sind die Nullmatrix und die Einheitsmatrix.
Eine Matrix \(\displaystyle A\) für die \(\displaystyle A^t=-A\) gilt heißt schiefsymmetrisch.
Sei \(\displaystyle A\) eine quadratische Matrix, \(\displaystyle S=\dfrac 1 2 (A+A^t)\) und \(\displaystyle U=\dfrac 1 2 (A-A^t)\), so ist \(\displaystyle S\) symmetrisch und \(\displaystyle U\) schiefsymmetrisch und wegen \(\displaystyle A=S+U\) können wir jede quadratische Matrix als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix darstellen.
Die Transponierte eines Zeilenvektors ist ein Spaltenvektor und umgekehrt.
 
 

Beispiele

Sei \(\displaystyle A=\matrix {{1\, 2\, 3} { 4\, 5\, 6}}\), so ist \(\displaystyle A^t=\matrix {{1\, 4 } { 2\, 5} {3\, 6}}\).
Die Matrix \(\displaystyle \matrix {{1\, 2\, 3} { 2\, 4\, 6} {3\, 6\, 5}}\) ist eine symmetrische Matrix.

Satz 15XT (Eigenschaften der Transponierten)

Seien \(\displaystyle A,B\) zwei Matrizen aus \(\displaystyle \Mat(m\cross n, K)\) und \(\displaystyle \alpha\in K\). Dann gilt:
  1. \(\displaystyle (A+B)^t=A^t+B^t\)
  2. \(\displaystyle (\alpha A)^t=\alpha\cdot A^t\)
  3. \(\displaystyle (A^t)^t=A\)
  4. \(\displaystyle (A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\)
  5. \(\displaystyle (A^\me)^t=(A^t)^\me\) falls \(\displaystyle A\) invertierbar
Wegen (i) und (ii) ist das Transponieren \(\displaystyle \, ^t:\Mat(m\cross n, K)\rightarrow \Mat(n\cross m, K)\) eine lineare Abbildung und da bijektiv auch ein Vektorraumisomorphismus.Wegen (iii) ist das Transponieren eine Involution, woraus sich auch die Bijektivität ergibt (Satz C86B).

Beweis

Ist schnell mit der Definition nachgerechnet. \(\displaystyle \qed\)

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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