Lineare Abbildungen und Matrizen

Seien \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) zwei endlich dimensionale Vektorräume über dem Körper \(\displaystyle K\), dann können wir jeder linearen Abbildung aus \(\displaystyle \Hom(V,W)\) in natürlicher Art eine Matrix zuordnen. Habe \(\displaystyle V\) die Dimension \(\displaystyle n\) und \(\displaystyle B=(v_1,\ldots, v_n)\) sei eine Basis von \(\displaystyle V\) und es gelte \(\displaystyle \dim W= m\) und \(\displaystyle C=(w_1,\ldots, w_m)\) sei eine Basis von \(\displaystyle W\). Für die lineare Abbildung \(\displaystyle f\in \Hom(V,W)\) definieren wir nun die von den Basen \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) abhängige Matrix \(\displaystyle M_B^C(f)\in \Mat(m\cross n,K)\) wie folgt. Das Bild des \(\displaystyle j\)-ten Basisvektors aus \(\displaystyle B\) habe die Basisdarstellung
(1)
\(\displaystyle f(v_j)=a_{1j}w_1+a_{2j}w_2+\ldots+a_{mj}w_m\)
bezüglich \(\displaystyle C\). Die Koeffizienten \(\displaystyle (a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{mj})\) sollen genau die \(\displaystyle j\)-te Spalte der Matrix
(2)
\(\displaystyle M_{B,C}(f)=\pmatrix { a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots& \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}&\cdots &a_{mn} }\)
bilden. Diese Matrix heißt die Darstellungsmatrix oder auch Abbildungsmatrix der Abbildung \(\displaystyle f\) bezüglich der Basen \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\). Sind die Basen gleich, schreibt man auch \(\displaystyle M_B(f)\) und ist die Basis eindeutig bestimmt oder die Standardbasis, so schreibt man \(\displaystyle M(f)\).
 
 

Satz 15XX

Dei durch (2) definierte Abbildung zwischen \(\displaystyle \Hom(V,W)\) und \(\displaystyle \Mat(m\cross n,K)\) ist ein Vektorraumisomorphismus

Beweis

Die Linearität der Abbildung ergibt sich aus den Vektorraumeigenschaften von \(\displaystyle \Mat(m\cross n,K)\) (Bemerkung 15YI).
Wir finden zu jeder Matrix eine lineare Abbildung, daher ist die Zuordnung surjektiv.
Die Injektivität ergibt sich mit Satz 15XH aus der Eindeutigkeit der Basisdarstellung, die sicherstellt, dass nur der Nullabbildung die Nullmatrix zugeordnet wird. \(\displaystyle \qed\)

Folgerung 15YH

Seien \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) zwei endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper \(\displaystyle K\). Dann gilt:
\(\displaystyle \dim \Hom(V,W)=\dim V\cdot \dim W\).
Damit ist insbesondere auch \(\displaystyle \Hom(V,W)\) endlichdimensional.

Beweis

Es gelte \(\displaystyle \dim V=n\) und \(\displaystyle \dim W=m\). Nach Satz 15XX ist \(\displaystyle \Hom(V,W)\) isomorph zu \(\displaystyle \Mat(m\cross n,K)\). Nach Bemerkung 15YI hat \(\displaystyle \Mat(m\cross n,K)\) die Dimension \(\displaystyle m\cdot n\) und nach dem Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume gilt dann: \(\displaystyle \dim\Hom(V,W)=\dim V\cdot \dim W\). \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung 16B6

Bei festgehaltenen Basen bestimmt jede lineare Abbildung \(\displaystyle f:V\to W\) eine Darstellungsmatrix und jede Matrix \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\) bestimmt eine lineare Abbildung, deren Darstellungsmatrix genau mit \(\displaystyle A\) identisch ist.

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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