Lineare Abbildungen und Matrizen

Seien VV und WW zwei endlich dimensionale Vektorräume über dem Körper KK, dann können wir jeder linearen Abbildung aus Hom(V,W)\Hom(V,W) in natürlicher Art eine Matrix zuordnen. Habe VV die Dimension nn und B=(v1,,vn)B=(v_1,\ldots, v_n) sei eine Basis von VV und es gelte dimW=m\dim W= m und C=(w1,,wm)C=(w_1,\ldots, w_m) sei eine Basis von WW. Für die lineare Abbildung fHom(V,W)f\in \Hom(V,W) definieren wir nun die von den Basen BB und CC abhängige Matrix MBC(f)Mat(m×n,K)M_B^C(f)\in \Mat(m\cross n,K) wie folgt. Das Bild des jj-ten Basisvektors aus BB habe die Basisdarstellung
f(vj)=a1jw1+a2jw2++amjwmf(v_j)=a_{1j}w_1+a_{2j}w_2+\ldots+a_{mj}w_m(1)
bezüglich CC. Die Koeffizienten (a1j,a2j,,amj)(a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{mj}) sollen genau die jj-te Spalte der Matrix
MB,C(f)=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)M_{B,C}(f)=\pmatrix { a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots& \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}&\cdots &a_{mn} }(2)
bilden. Diese Matrix heißt die Darstellungsmatrix oder auch Abbildungsmatrix der Abbildung ff bezüglich der Basen BB und CC. Sind die Basen gleich, schreibt man auch MB(f)M_B(f) und ist die Basis eindeutig bestimmt oder die Standardbasis, so schreibt man M(f)M(f).
 
 

Satz 15XX

Dei durch (2) definierte Abbildung zwischen Hom(V,W)\Hom(V,W) und Mat(m×n,K)\Mat(m\cross n,K) ist ein Vektorraumisomorphismus

Beweis

Die Linearität der Abbildung ergibt sich aus den Vektorraumeigenschaften von Mat(m×n,K)\Mat(m\cross n,K) (Bemerkung 15YI).
Wir finden zu jeder Matrix eine lineare Abbildung, daher ist die Zuordnung surjektiv.
Die Injektivität ergibt sich mit Satz 15XH aus der Eindeutigkeit der Basisdarstellung, die sicherstellt, dass nur der Nullabbildung die Nullmatrix zugeordnet wird. \qed

Folgerung 15YH

Seien VV und WW zwei endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper KK. Dann gilt:
dimHom(V,W)=dimVdimW\dim \Hom(V,W)=\dim V\cdot \dim W.
Damit ist insbesondere auch Hom(V,W)\Hom(V,W) endlichdimensional.

Beweis

Es gelte dimV=n\dim V=n und dimW=m\dim W=m. Nach Satz 15XX ist Hom(V,W)\Hom(V,W) isomorph zu Mat(m×n,K)\Mat(m\cross n,K). Nach Bemerkung 15YI hat Mat(m×n,K)\Mat(m\cross n,K) die Dimension mnm\cdot n und nach dem Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume gilt dann: dimHom(V,W)=dimVdimW\dim\Hom(V,W)=\dim V\cdot \dim W. \qed

Bemerkung 16B6

Bei festgehaltenen Basen bestimmt jede lineare Abbildung f:VWf:V\to W eine Darstellungsmatrix und jede Matrix AMat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K) bestimmt eine lineare Abbildung, deren Darstellungsmatrix genau mit AA identisch ist.

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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