Faktorisierung linearer Abbildungen

Koordinatenabbildungen

Sei VV ein Vektorraum über dem Körper KK und B=(b1,…,bn)B=(b_1,\dots,b_n) eine Basis. Dann besitzt ein Vektor v∈Vv\in V eine eindeutige Basisdarstellung (Satz 15X4)
v=α1b1+⋯+αnbnv=\alpha_1 b_1+\dots+\alpha_n b_n mit α1,…,αn∈K\alpha_1,\dots,\alpha_n\in K
Wir definieren die Koordinatenabbildung von VV bezüglich BB kB:V→Knk_B:V\to K^n als den folgenden Vektorraumisomorphismus
v ↦ (α1⋮αn)v\,\mapto\, \pmatrix{\alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n}
Für die Basisvektoren gilt kB(b1)=(10⋮0)k_B(b_1)=\pmatrix{1\\ 0\\ \vdots\\ 0} ... kB(bn)=(0⋮01)k_B(b_n)=\pmatrix{0\\ \vdots\\ 0\\ 1}. Das Bild des jj-ten Basisvektors ist also der jj-te Einheitsvektor kB(bj)=ejk_B(b_j)=e_j. Diese Vektoren bilden eine Basis von KnK^n, daher handelt es sich nach Satz 15XN um eine Bijektion und tatsächlich um einen Isomorphismus.
Durch die Wahl einer Basis in VV wird ein Isomorphismus von VV auf KnK^n bestimmt.
Die oben dargestellten Zusammenhänge erlauben es, eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen in Koordinatenabbildungen und Standardabbildung zu zerlegen.
 
 

Satz 16AT (Faktorisierung einer linearen Abbildung)

Seien VV und WW Vektorräume mit den Basen B={v1,…,vn}B=\{v_1,\dots,v_n\} und C={w1,…,wm}C=\{w_1,\dots,w_m\} und f:V→Wf:V\to W eine lineare Abbildung. Sei nun MB,C(f)M_{B,C}(f) die Darstellungsmatrix von ff bezüglich BB und CC sowie gg die zu dieser Matrix gehörige Standardabbildung. Dann gilt
g∘kB=kC∘fg\circ k_B=k_C\circ f,
da die Koordinatenabbildungen bijektiv sind, kann man ff also wie folgt darstellen: f=kC−1∘g∘kBf=k_C^\me\circ g\circ k_B

Beweis

Für alle j=1,…,nj=1,\dots,n gilt (g∘kB)(vj)=g(kb(vj))(g\circ k_B)(v_j)=g(k_b(v_j)) =g(ej)=g(e_j) (Koordinatenabbildung eines Basisvektors) =j=j-te Spalte der Darstellungsmatrix MfM_f.
Es ist nach Definition der Darstellungsmatrix MB,C(f)=(a11⋯a1n⋮⋮am1⋯amn)M_{B,C}(f)=\pmatrix { a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots && \vdots \\ a_{m1} &\cdots &a_{mn} } mit f(vj)=a1jw1+…+amjwmf(v_j)=a_{1j}w_1+\ldots+a_{mj}w_m.
Für j=1,…,nj=1,\dots,n gilt dann (kC∘f)(vj)=kC(f(vj))(k_C\circ f)(v_j)=k_C(f(v_j)) =kC(a1jw1+…+amjwm)=k_C(a_{1j}w_1+\ldots+a_{mj}w_m) =a1jkC(w1)+…+amjkC(wm)=a_{1j}k_C(w_1)+\ldots+a_{mj}k_C(w_m) (wegen der Linearität der Koordinatenabbildung kCk_C) =a1je1+…+amjem=a_{1j}e_1+\ldots+a_{mj}e_m (Koordinatenabbildung eines Basisvektors) =j=j-te Spalte der Darstellungsmatrix MfM_f. □\qed

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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