Elementare Umformungen einer Matrix

Für eine Matrix AMat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K) definieren wir die folgende elementaren Spaltenumformungen
S1: Addition einer Spalte zu einer anderen Spalte S2: Multiplikation eine Spalte mit einem 0λK0\neq \lambda\in K S3: Vertauschung zweier Spalten S4: Addition einer beliebig Linearkombination von rr (r<nr<n) Spalten zu einer weiteren Spalte
Dabei sind S3 und S4 nicht wirklich elementar. S4 erhält man sofort aus endliche Hintereinanderausführung von S1 und S2. S3 ergibt sich folgendermaßen: Sind x,yx,y zwei Spalten von AA, so ist (x,y)(x,y) nach S1: (x,x+y)(x,x+y) nach S4: x(x+y),x+yx-(x+y),x+y =(y,x+y)=(-y,x+y) nach S1: (y,(x+y)y)(-y,(x+y)-y) =(y,x)=(-y,x) nach S2: (y,x)(y,x).
Die elementaren Zeilenumformungen definiert man analog:
Z1: Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Z2: Multiplikation eine Zeile mit einem 0λK0\neq \lambda\in K Z3: Vertauschung zweier Zeilen Z4: Addition einer beliebig Linearkombination von rr (r<mr<m) Zeilen zu einer weiteren Zeile
Auch hier gilt, dass Z3 und Z4 sich aus Z1 und Z2 ergeben.

Satz 16C8 (Elementare Umformungen und Rang)

Elementare Umformungen einer Matrix ändern ihren Rang nicht.

Beweis

Elementare Zeilenumformungen von AA entsprechen Spaltenumformungen von AtA^t und umgekehrt. Da rangA=rangAt\rang A=\rang A^t (Folgerung aus Satz 16BA) brauchen wir nur zu zeigen, dass die Spaltenumformungen den Spaltenrang nicht ändern.
Der Spaltenrang ist aber die Dimension, des durch die Spalten aufgespannten Teilraumes, welche sich aber durch S1 und S2 nicht ändert. \qed
 
 

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе