Elementare Umformungen einer Matrix

Für eine Matrix \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\) definieren wir die folgende elementaren Spaltenumformungen
S1: Addition einer Spalte zu einer anderen SpalteS2: Multiplikation eine Spalte mit einem \(\displaystyle 0\neq \lambda\in K\)S3: Vertauschung zweier SpaltenS4: Addition einer beliebig Linearkombination von \(\displaystyle r\) (\(\displaystyle r<n\)) Spalten zu einer weiteren Spalte
Dabei sind S3 und S4 nicht wirklich elementar. S4 erhält man sofort aus endliche Hintereinanderausführung von S1 und S2. S3 ergibt sich folgendermaßen: Sind \(\displaystyle x,y\) zwei Spalten von \(\displaystyle A\), so ist \(\displaystyle (x,y)\) nach S1: \(\displaystyle (x,x+y)\) nach S4: \(\displaystyle x-(x+y),x+y\) \(\displaystyle =(-y,x+y)\) nach S1: \(\displaystyle (-y,(x+y)-y)\) \(\displaystyle =(-y,x)\) nach S2: \(\displaystyle (y,x)\).
Die elementaren Zeilenumformungen definiert man analog:
Z1: Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Z2: Multiplikation eine Zeile mit einem \(\displaystyle 0\neq \lambda\in K\)Z3: Vertauschung zweier Zeilen Z4: Addition einer beliebig Linearkombination von \(\displaystyle r\) (\(\displaystyle r<m\)) Zeilen zu einer weiteren Zeile
Auch hier gilt, dass Z3 und Z4 sich aus Z1 und Z2 ergeben.
 
 

Satz 16C8 (Elementare Umformungen und Rang)

Elementare Umformungen einer Matrix ändern ihren Rang nicht.

Beweis

Elementare Zeilenumformungen von \(\displaystyle A\) entsprechen Spaltenumformungen von \(\displaystyle A^t\) und umgekehrt. Da \(\displaystyle \rang A=\rang A^t\) (Folgerung aus Satz 16BA) brauchen wir nur zu zeigen, dass die Spaltenumformungen den Spaltenrang nicht ändern.
Der Spaltenrang ist aber die Dimension, des durch die Spalten aufgespannten Teilraumes, welche sich aber durch S1 und S2 nicht ändert. \(\displaystyle \qed\)

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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