Vollständigkeit in metrischen Räumen

Da in einem metrischen Raum nicht jede Cauchy-Folge konvergieren muss, gibt dies Anlass zur Definition der Vollständigkeit. Ein metrischer Raum (MM,dd) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Im übertragenen Sinn bedeutet die Vollständigkeit, dass der Raum keine Löcher enthält.

Beispiel

Die Aussage von Satz 5225B für reelle Zahlenfolgen bedeutet in der Sprache der metrischen Räume, dass die reellen Zahlen mit der Betragsmetrik ein vollständiger metrischer Raum sind.

Satz 5608G

Sei A⊆MA\subseteq M abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raums (MM,dd). Dann ist (AA,dd) ein vollständiger metrischer Raum.

Beweis

Sei (an)(a_n) eine Cauchy-Folge, die nur Glieder aus AA enthält. Dann ist (an)(a_n) wegen der Vollständigkeit von MM konvergent und aa sei der Grenzwert. Es gilt wegen Satz 5608E, dass aa Häufungspunkt von A ist. Da AA abgeschlossen war, enthält es alle Häufungspunkte, mithin gilt auch a∈Aa\in A. □\qed
 
 

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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