Vervollständigung

Jeder metrische Raum kann zu einem vollständigen Raum erweitert werden, denn es gilt

Satz 5608M (Vervollständigung metrischer Räume)

Sei (MM,dd) ein metrischer Raum, dann gibt es einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten vollständigen metrischen Raum (MVM_V,dVd_V) und eine Abbildung f:M→MVf: M\rightarrow M_V mit den folgenden Eigenschaften:
  1. (f(M),dV)(f(M),d_V) ist isometrisch zu (MVM_V,dVd_V)
  2. f(M)f(M) liegt dicht in MVM_V.

Beweis

Um für einen metrischen Raum (MM,dd) eine Vervollständigung zu konstruieren liegt es nahe, auf Cauchyfolgen zurückzugreifen. Wir definieren
Ξ={ξ=(xn)∣ ξ\Xi=\{\xi=(x_n)| \, \xi ist Cauchyfolge in M}M\}(1)
und setzen
dΞ(ξ,η):=lim⁡n→∞d(xn , yn)d_\Xi(\xi,\eta):=\lim_{n\rightarrow\infty} d(x_n\, ,\, y_n).(2)
(Dieser Grenzwert existiert, weil nach der Vierecksungleichung ∣d(xn,yn)−d(xm,ym)∣≤d(xm,xn)+d(ym,yn)|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)|\leq d(x_m,x_n)+d(y_m,y_n) gilt und die reellen Cauchyfolgen nach Satz 5225B konvergieren.)
Man überzeugt sich leicht, dass (2) eine Halbmetrik in Ξ\Xi definiert. Nach Satz 5608K können wir aber eine Äquivalenzrelation definieren und einen metrischen Raum MVM_V mit der entsprechenden Metrik dVd_V als Quotientenraum erhalten.
Jetzt definieren wir die Abbildung f:M→MVf: M\rightarrow M_V als
f(x)=[(x,x,x,…)]f(x)=[(x,x,x,\ldots)],(3)
wobei jedem Element aus MM eine konstante Folge - genauer die Äquivalenzklasse, in der diese konstante Folge liegt - zuordnet. Diese Abbildung ist trivialerweise eine Isometrie, denn
dV(f(x),f(y))=dV([(x,x,x,…)],[(y,y,y,…)])d_V(f(x),f(y))=d_V([(x,x,x,\ldots)],[(y,y,y,\ldots)]) =dΞ((x,x,x,…),(y,y,y,…))=d_\Xi((x,x,x,\ldots),(y,y,y,\ldots)) =lim⁡n→∞d(x,y)=d(x,y)=\lim_{n\rightarrow\infty} d(x,y)=d(x,y)(4)
f(M)f(M) liegt dicht in (MVM_V,dVd_V): Sei [ξ][\xi] eine Äquivalenzklasse mit dem Vertreter ξ=(xn)\xi=(x_n). Es gilt für ein n∈Nn\in\dom N:
dV(f(xn),[ξ])=dΞ(f(xn),ξ)=lim⁡k→∞d(xn,xk)d_V(f(x_n),[\xi])=d_\Xi(f(x_n),\xi)=\lim_{k\rightarrow\infty} d(x_n,x_k)(5)
Für n→∞n\rightarrow\infty strebt dieser Grenzwert gegen 00, da (xn)(x_n) eine Cauchyfolge ist.
(MVM_V,dVd_V) ist vollständig: Sei ([ξn])([\xi_n]) eine Cauchyfolge in MVM_V. Wir wählen für alle n∈Nn\in\dom N ein xn∈Mx_n\in M, so dass
lim⁡n→∞dV(f(xn),[ξn])=0\lim_{n\rightarrow\infty} d_V(f(x_n),[\xi_n])=0.(6)
Diese Auswahl funktioniert, weil f(M)f(M) dicht in MVM_V liegt.
Es gilt nun mit (4) und der Dreiecksungleichung:
d(xn,xm)=dV(f(xn),f(xm))d(x_n,x_m)=d_V(f(x_n),f(x_m)) ≤dV(f(xn),[ξn])+dV([ξm],[ξn])+dV(f(xm),[ξm])\leq d_V(f(x_n),[\xi_n])+d_V([\xi_m],[\xi_n])+d_V(f(x_m),[\xi_m]).(7)
Aus (6) und der Tatsache, dass ([ξn])([\xi_n]) ein Cauchyfolge ist, folgt nun, dass seinerseits (xn)(x_n) eine Cauchyfolge in MM ist. Diese muss dann in einer Klasse [ξ][\xi] liegen. Wir schätzen jetzt aber
dV([ξn],[ξ])≤dV([ξn],f(xn))+dV(f(xn),[ξ])d_V([\xi_n],[\xi])\leq d_V([\xi_n],f(x_n))+d_V(f(x_n),[\xi])(8)
ab und wissen, dass die rechte Seite wegen (6) und dV(f(xn),[ξ])→0d_V(f(x_n),[\xi])\rightarrow 0 gegen 00 geht. Daher gilt also
lim⁡n→∞[ξn]=[ξ]\lim_{n\rightarrow\infty}[\xi_n]=[\xi],(9)
womit die Vollständigkeit von (MVM_V,dVd_V) gezeigt ist. □\qed
 
 

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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