Der Bairesche Kategoriensatz

Bevor wir den Satz in seiner griffigen Form: "Jeder vollständige metrische Raum ist von zweiter Kategorie" formulieren beweisen wir folgenden Hilfssatz.

Satz 166J (Baire-Hausdorff)

Es seien M ein vollständiger metrischer Raum und (Ak)k∈N(A_k)_{k\in\N} eine Familie abgeschlossener Teilmengen von M mit
M=⋃k=1∞AkM=\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k.
Dann gibt es ein n∈Nn\in\N, so dass An°≠∅A_n°\neq \emptyset. Mit anderen Worten: MM ist keine Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen.

Beweis

Wir nehmen an, dass für alle k∈Nk\in\N Ak°=∅A_k°=\emptyset ist, damit gilt wegen der Abgeschlossenheit von AkA_k auch Ak=∂AkA_k=\partial A_k. Wenn wir nun eine offene, nichtleere Teilmenge O⊆XO\subseteq X betrachten, gilt O∖AkO\setminus A_k ist offen (weil AkA_k abgeschlossen) und nichtleer (weil AkA_k nur aus Randpunkten besteht).
Es existiert nun nichtleere Umgebungen UnU_n wie folgt: U‾1⊂M∖A1\overline U_1\subset M\setminus A_1 mit diam⁡U1<1\diam U_1<1 und U‾n⊂M∖An−1\overline U_n\subset M\setminus A_{n-1} mit diam⁡Un<1/n\diam U_n<1/n.
Nach dem Durchschnittssatz (Satz 5608J) gibt es wegen der Vollständigkeit von MM nun genau ein M∋x=⋂n=1∞UnM\ni x=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n
Nach Konstruktion ist aber x∉Akx\notin A_k für alle k∈Nk\in\N, damit x∉⋃k=1∞Ak=Mx\notin \bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k=M. Widerspruch. □\qed
Eine Teilmenge A⊆MA\subseteq M eines metrischen Raums MM ist von erster Kategorie, wenn sie die Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen ist. Damit ist jede Teilmenge von AA von erster Kategorie und die abzählbare Vereinigung von Mengen von erster Kategorie ist ebenfalls von erster Kategorie.
Ist AA nicht von erster Kategorie so heißt AA von zweiter Kategorie.

Satz 166L (Kategoriensatz von Baire)

Sei (M,d)(M,d) ein nichttrivialer vollständiger metrischer Raum. Dann enthält keine Teilmenge von erster Kategorie innere Punkte. Damit ist insbesondere jede nichtleere offene Teilmenge von MM von zweiter Kategorie; lässt sich also nicht als Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen darstellen.

Beweis

Folgt direkt aus Satz 166J. □\qed

Geschichtliches

Der Satz wurde zuerst von WILLIAM OSGOOD für die reellen Zahlen R\R bewiesen und später von RENÉ LOUIS BAIRE, für den Rn\Rn verallgemeinert.
 
 

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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