Der Bairesche Kategoriensatz

Bevor wir den Satz in seiner griffigen Form: "Jeder vollständige metrische Raum ist von zweiter Kategorie" formulieren beweisen wir folgenden Hilfssatz.

Satz 166J (Baire-Hausdorff)

Es seien M ein vollständiger metrischer Raum und \(\displaystyle (A_k)_{k\in\N}\) eine Familie abgeschlossener Teilmengen von M mit
\(\displaystyle M=\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\).
Dann gibt es ein \(\displaystyle n\in\N\), so dass \(\displaystyle A_n°\neq \emptyset\). Mit anderen Worten: \(\displaystyle M\) ist keine Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen.
 
 

Beweis

Wir nehmen an, dass für alle \(\displaystyle k\in\N\) \(\displaystyle A_k°=\emptyset\) ist, damit gilt wegen der Abgeschlossenheit von \(\displaystyle A_k\) auch \(\displaystyle A_k=\partial A_k\). Wenn wir nun eine offene, nichtleere Teilmenge \(\displaystyle O\subseteq X\) betrachten, gilt \(\displaystyle O\setminus A_k\) ist offen (weil \(\displaystyle A_k\) abgeschlossen) und nichtleer (weil \(\displaystyle A_k\) nur aus Randpunkten besteht).
Es existiert nun nichtleere Umgebungen \(\displaystyle U_n\) wie folgt: \(\displaystyle \overline U_1\subset M\setminus A_1\) mit \(\displaystyle \diam U_1<1\) und \(\displaystyle \overline U_n\subset M\setminus A_{n-1}\) mit \(\displaystyle \diam U_n<1/n\).
Nach dem Durchschnittssatz (Satz 5608J) gibt es wegen der Vollständigkeit von \(\displaystyle M\) nun genau ein \(\displaystyle M\ni x=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n\)
Nach Konstruktion ist aber \(\displaystyle x\notin A_k\) für alle \(\displaystyle k\in\N\), damit \(\displaystyle x\notin \bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k=M\). Widerspruch. \(\displaystyle \qed\)
Eine Teilmenge \(\displaystyle A\subseteq M\) eines metrischen Raums \(\displaystyle M\) ist von erster Kategorie, wenn sie die Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen ist. Damit ist jede Teilmenge von \(\displaystyle A\) von erster Kategorie und die abzählbare Vereinigung von Mengen von erster Kategorie ist ebenfalls von erster Kategorie.
Ist \(\displaystyle A\) nicht von erster Kategorie so heißt \(\displaystyle A\) von zweiter Kategorie.

Satz 166L (Kategoriensatz von Baire)

Sei \(\displaystyle (M,d)\) ein nichttrivialer vollständiger metrischer Raum. Dann enthält keine Teilmenge von erster Kategorie innere Punkte. Damit ist insbesondere jede nichtleere offene Teilmenge von \(\displaystyle M\) von zweiter Kategorie; lässt sich also nicht als Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen darstellen.

Beweis

Folgt direkt aus Satz 166J. \(\displaystyle \qed\)

Geschichtliches

Der Satz wurde zuerst von WILLIAM OSGOOD für die reellen Zahlen \(\displaystyle \R\) bewiesen und später von RENÉ LOUIS BAIRE, für den \(\displaystyle \Rn\) verallgemeinert.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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