Neumann-Reihe

In der Mathematik ist eine Neumann-Reihe eine Reihe der Form ∑n=0∞Tn\sum\limits\limits_{n=0}^\infty T^n, wobei T:X→XT:X \rightarrow X ein stetiger Operator auf einem normierten Raum  X  \, X \, ist und  T 0:=IdX \, T \, ^0 := \mathrm{Id}_X.
Die Reihe entspricht formal einer geometrischen Reihe und ist nach dem Mathematiker Carl Gottfried Neumann benannt, der sie 1877 in der Potentialtheorie verwendete. Sie findet u.a. Anwendung in der Funktionalanalysis zum Lösen von Operatorgleichungen und ist wichtig bei der Untersuchung von stetigen Operatoren, vgl. Spektrum (Operatortheorie).

Eigenschaften

Sei (X,∥ ∥)(X,\left\|\, \right\|) ein normierter Raum und T:X→XT:X \rightarrow X ein stetiger Operator.
  • Falls die Neumann-Reihe ∑n=0∞Tn\sum\limits\limits_{n=0}^\infty T^n im Raum  L(X)  \, L(X) \, bezüglich der Operatornorm konvergiert, dann ist  Id−T  \, \mathrm{Id} - T \, invertierbar und es gilt (Id−T)−1=∑n=0∞Tn\left(\mathrm{Id} - T\right)^{-1} = \sum\limits\limits_{n=0}^\infty T^n.
  • Die Neumann-Reihe konvergiert, falls (X,∥⋅∥)\left(X,\left\|\cdot\right\|\right) ein Banachraum ist und für die Operatornorm ∥T∥<1\left\| T \right\| < 1 gilt.
Es sind auch schwächere Voraussetzungen bekannt, unter denen die Reihe konvergieren kann.

Invertierbarkeit ist offen

Seien B,B′B,B' zwei Banachräume und S:B→B′S:B\to B' ein invertierbarer Operator. Dann gilt für jeden weiteren Operator T:B→B′T:B\to B': Gilt für den Abstand in der Operatornorm von SS zu TT die Abschätzung ∥T−S∥=q ∥S−1∥−1\|T-S\|=q\,\|S^{-1}\|^{-1} mit 0<q<10 < q < 1, so ist TT ebenfalls invertierbar und die Inverse hat die Operatornorm
∥T−1∥≤11−q∥S−1∥\|T^{-1}\|\le\dfrac1{1-q}\|S^{-1}\|.
Zum Beweis: Es wird T=S(I−(I−S−1T))T=S(I-(I-S^{-1}T)) zerlegt und auf den zweiten Faktor die Neumann-Reihe angewandt. Die Konvergenz ist gesichert, denn nach Voraussetzung gilt:
∥I−S−1T∥≤∥S−1∥ ∥S−T∥≤q<1\|I-S^{-1}T\|\le\|S^{-1}\|\,\|S-T\|\le q<1.
Als Folge ergibt sich, dass die Menge der invertierbaren Operatoren offen ist bzgl. der Topologie der Operatornorm.

Literatur

 
 

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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