Gleichmäßige Konvergenz und Differentiation

Satz 16KA

Seien fn:[a,b]→Rf_n:[a,b]\rightarrow\R stetig differenzierbar und die Funktionenfolge fn→f:[a,b]→Rf_n \rightarrow f:[a,b]\rightarrow\R punktweise konvergent. Die Folge der Ableitungen fn′:[a,b]→Rf_n':[a,b]\rightarrow\R konvergiere gleichmäßig. Dann ist ff stetig differenzierbar und es gilt
f′(x)=lim⁡n→∞fn′(x)f'(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n'(x)
 
 

Beweis

fn′→∣∣⋅∣∣g∈C[a,b]f_n'\xrightarrow{||\cdot||}g\in C[a,b] (nach Satz 16K8 ist gg beschränkt stetig); zu zeigen: g=f ′g=f\, '. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für alle x∈[a,b]x\in [a,b]: fn(x)=fn(a)+∫axfn′(t) d⁡tf_n(x)=f_n(a)+\int\limits_{a}^{x} f_n'(t)\, \d t und fn′f_n' ist stetig. Aus Satz 16K9 folgt lim⁡n→∞∫axfn′(t) d⁡t\lim_{n\rightarrow\infty}\int\limits_{a}^{x} f_n'(t)\, \d t=∫axlim⁡n→∞fn′(t) d⁡t = \int\limits_{a}^{x} \lim_{n\rightarrow\infty}f_n'(t)\, \d t=∫axg(t) d⁡t = \int\limits_{a}^{x} g(t)\, \d t. Also: ∫axf ′(t) d⁡t\int\limits_{a} ^{x} f\, '(t)\, \d t =f(x)−f(a)=f(x)-f(a) =lim⁡n→∞(fn(x)−fn(a))=\lim_{n\to\infty}(f_n(x)-f_n(a)) =lim⁡n→∞∫axfn′(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int\limits_{a}^{x} f_n'(t) =∫axg(t) d⁡t = \int\limits_{a}^{x} g(t)\, \d t⇒f′(x)=g(x) \Rightarrow f'(x)=g(x)⇒f′=g \Rightarrow f'=g. □\qed

Im Satz 16KA war die punktweise Konvergenz von fnf_n vorausgesetzt. Selbst wenn fnf_n gleichmäßig gegen ff konvergiert (fn→∣∣⋅∣∣ff_n\xrightarrow{||\cdot||}f) , folgt aus der Differenzierbarkeit von ff im Allgemeinen nicht, dass lim⁡fn′(x)=f ′(x)\lim f_n' (x)=f\, '(x). fn:[−N,N]→Rf_n:[-N,N]\rightarrow\R; fn(x)=1nsin⁡(nx) f_n(x)=\dfrac{1}{n}\sin (nx) beliebig oft differenzierbar. ∣∣fn∣∣∞=1n →0⇒lim⁡fn=0||f_n||_\infty=\dfrac{1}{n}\, \rightarrow 0\Rightarrow \lim f_n=0; aber fn′(x)=cos⁡(nx)↛f′(x)=0f_n'(x)=\cos(nx)\nrightarrow f'(x)=0.

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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