Gleichmäßige Konvergenz und Integration

Bei gleichmäßiger Konvergenz von Funktionsfolgen und Funktionsreihen können Integral und Grenzwert vertauscht werden.

Satz 16K9 (Gleichmäßige Konvergenz und Integration)

(fn)⊂R[a,b](f_n)\subset\mathcal{R}[a,b] und fn→∣∣⋅∣∣∞ff_n \xrightarrow{||\cdot||_\infty} f. Dann gilt f∈R[a,b]f\in\mathcal{R}[a,b] und
lim⁡n→∞∫abfnd⁡x \lim_{n\rightarrow\infty} \int\limits_a^b f_n\d x=∫ablim⁡n→∞fnd⁡x =\int\limits_a^b \lim_{n\rightarrow\infty} f_n\d x=∫abfd⁡x =\int\limits_a^bf\d x
Konvergiert die Funktionenreihe ∑n=1∞fn\sum\limits_{n=1}^\infty f_n gleichmäßig gegen gg, so gilt g∈R[a,b]g\in\mathcal{R}[a,b] und
∑n=1∞∫abfnd⁡x \sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f_n\d x=∫ab∑n=1∞fnd⁡x =\int\limits_a^b \sum\limits_{n=1}^\infty f_n\d x=∫abgd⁡x =\int\limits_a^bg\d x.

Beweis

(fn)∈R[a,b](f_n)\in\mathcal{R}[a,b], fn→∣∣⋅∣∣∞f f_n\xrightarrow{||\cdot||_\infty} f ⇒f∈R[a,b] \Rightarrow f\in\mathcal{R}[a,b] (nach Satz 16K8). Sei ε>0\varepsilon>0. Dann existiert nε∈N ∀n≥nε:∣∣fn−f∣∣∞≤εn_\varepsilon\in\N \, \forall n\geq n_\varepsilon:||f_n-f||_\infty\leq\varepsilon ∣∫abfnd⁡x−∫abfd⁡x∣ \left|\int\limits_a^bf_n\d x-\int\limits_a^bf\d x\right| =∣∫ab(fn−f)d⁡x∣ = \left|\int\limits_a^b(f_n-f)\d x\right|≤∫ab∣fn−f∣d⁡x \leq \int\limits_a^b |f_n-f|\d x=∫ab∣fn(x)−f(x)∣d⁡x = \int\limits_a^b |f_n(x)-f(x)|\d x ≤∫ab∣∣fn−f∣∣∞d⁡x \leq \int\limits_a^b ||f_n-f||_\infty \d x≤∫abεd⁡x \leq \int\limits_a^b\varepsilon \d x =ε(b−a) = \varepsilon(b-a) für n≥nε n\geq n_\varepsilon . Dies heißt, dass lim⁡∫abfn(x)dx\lim\int\limits_a^b f_n(x)dx=∫ablim⁡fn(x)dx =\int\limits_a ^b \lim f_n(x)dx=∫abfdx =\int\limits_a^b fdx. Die Behauptung zur Funktionenreihe beweist man durch Übergang zu den Partialsummen und Benutzen des gerade Bewiesenen.□\qed

Bemerkungen

Satz 16K9 gilt nicht bei punktweiser Konvergenz.
fn:[0,1]→Rf_n:[0,1]\rightarrow\R fn(x):=max⁡{n−n2∣x−1n∣;0} f_n(x):=\max\{n-n^2|x-\dfrac{1}{n}|;0\}={n2x0≤x≤1n2n−n2x1n≤x≤2n02n≤x≤1 = \begin{cases} n^2x & 0\leq x\leq \dfrac{1}{n}\\ 2n-n^2x & \dfrac{1}{n}\leq x \leq\dfrac{2}{n}\\ 0 & \dfrac{2}{n}\leq x\leq 1 \end{cases} fn(x)→0f_n(x)\rightarrow 0 punktweise. fnf_n ist nicht gleichmäßig konvergent gegen 0. Denn ∣∣fn−f∣∣∞=∣∣fn−0∣∣∞||f_n-f||_\infty =||f_n-0||_\infty=∣∣fn∣∣∞=n =||f_n||_\infty=n, was unbeschränkt wächst. Für n≥2 n\geq 2 ist ∫abfn(x)d⁡x=1\int\limits_a^b f_n(x)\d x=1 , also lim⁡∫01fn(x)d⁡x=1\lim\int\limits_0 ^1 f_n(x)\d x=1. Aber ∫01lim⁡n→∞fn(x) d⁡x\int\limits_0^1\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\, \d x=∫010 d⁡x=0 =\int\limits_0^1 0\, \d x=0.
Satz 16K9 gilt nicht für uneigentliche Integrale (unendliche Intervalle).
fn:[0,∞[→Rf_n:[0,\infty[\rightarrow\R, fn(x):=xn2 e⁡−xnf_n(x):=\dfrac{x}{n^2}\, \e^{-\dfrac{x}{n}}, ∣∣fn∣∣∞=1ne⁡||f_n||_\infty=\dfrac{1}{n\e}, ∣∣fn∣∣∞→0 ||f_n||_\infty\rightarrow 0. Aber ∫0∞fn(x)d⁡x=1n+1→1\int\limits _0^\infty f_n(x)\d x=\dfrac{1}{n}+1\rightarrow 1 und ∫0∞lim⁡fn(x)d⁡x=∫0∞0 d⁡x=0\int\limits _0^\infty\lim f_n(x)\d x=\int\limits_0^\infty0\, \d x=0.
 
 

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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